Université Joseph Fourier Grenoble I Mathématiques Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1e année

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1e année Calcul matriciel Bernard Ycart Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d'autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels de dimension finie. Vous y apprendrez les manipulations élémentaires de matrices, qui ne devraient pas vous poser de problème si vous avez bien compris la résolution des systèmes linéaires. Table des matières 1 Cours 2 1.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Rang d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Calcul de l'inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Entraînement 17 2.1 Vrai ou faux . . . . . .

espaces vectoriels de dimension finie

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Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies1eannée Calcul matriciel Bernard Ycart Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d’autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels de dimension ﬁnie. Vous y apprendrez les manipulations élémentaires de matrices, qui ne devraient pas vous poser de problème si vous avez bien compris la résolution des systèmes linéaires. Table des matières 1 Cours 2 1.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Entraînement 17 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Compléments 30 3.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

˙ Maths en L1gneCalcul matriciel

UJF Grenoble

1 Cours 1.1 Opérations sur les matrices Etant donnés deux entiersmetnstrictement positifs, unematrice àmlignes etn colonnesest un tableau rectangulaire de réelsA= (aij). L’indice de ligneiva de1à m, l’indice de colonnejva de1àn. a11∙ ∙ ∙a1j∙ ∙ ∙a1n . . . A= (aij) =ai1∙ ∙ ∙aij∙ ∙ ∙ain am.1∙ ∙ ∙a.mj∙ ∙ ∙am.n Les entiersmetnsont lesdimensionsde la matrice,aijest soncoeﬃcient d’ordre (i j). L’ensemble des matrices àmlignes etncolonnes et à coeﬃcients réels est noté Mmn(R). Ce qui suit s’applique aussi, si on remplaceRparC, à l’ensemble des matrices à coeﬃcients complexes. L’ensembleMmn(R)est naturellement muni d’une addition interne (on peut ajou-ter deux matrices de mmes dimensions terme à terme) et d’une multiplication externe (on peut multiplier une matrice par un réel terme à terme). •Addition :SiA= (aij)etB= (bij)sont deux matrices deMmn(R), leur somme A+Best la matrice(aij+bij). Par exemple : 211−311+−305−213=−220711 •Multiplication externe :SiA= (aij)est une matrice deMmn(R), etλest un réel, le produitλAest la matrice(λaij). Par exemple :  −21231=−−−242−−262 1−1 Observons que les opérations auraient le mme eﬀet si les matrices étaient disposées comme desmn-uplets de réels (toutes les lignes étant concaténées par exemple). Donc Mmn(R), muni de son addition et de sa multiplication externe, est un espace vectoriel, isomorphe àRmn. Labase canoniquedeMmn(R)est formée des matrices dont tous les coeﬃcients sont nuls, sauf un qui vaut1. L’opération la plus importante est leproduit matriciel.

˙ Maths en L1gneCalcul matricielUJF Grenoble

Déﬁnition 1.Soientm n ptrois entiers strictement positifs. SoitA= (aij)une e deMmn(R)et soitB= (bjk)une matrice deMnp(R). On appelleproduit matric matricieldeAparBla matriceC∈ Mmp(R)dont le terme généralcikest déﬁni, pour touti= 1     met pour toutk∈1     ppar : n cik=Xaijbjk j=1 Nous insistons sur le fait que le produitABde deux matrices n’est déﬁni que si le nombre de colonnes deAet le nombre de lignes deBsont les mmes. Observons d’abord que la déﬁnition 1 est cohérente avec la déﬁnition du produit d’une matrice par un vecteur, donnée au chapitre précédent : sip= 1, la matriceBanlignes et1 colonne, et le produitABamlignes et1colonne. D’autre part, appliquer la déﬁnition 1 revient à eﬀectuer successivement le produit deApar chacune des colonnes deB. Pour eﬀectuer ce produit, nous conseillons d’adopter la mme disposition que pour le produit par un vecteur, en plaçantBau-dessus et à droite deA. b11∙ ∙ ∙b1k∙ ∙ ∙b1n . . . ∙ ∙ ∙bjk∙ ∙ ∙ bn.1∙ ∙ ∙bn.k∙ ∙ ∙bn.p a11∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙a1n c11.c1p . . . . ai1∙ ∙ ∙aij∙ ∙ ∙ain ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙cik . .am.n cm1cmp am1∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Posons par exemple : A=121−131etB=−30−21−01−21! La matriceAa 3 lignes et 2 colonnes, la matriceBa 2 lignes et 4 colonnes. Le produit ABa donc un sens : c’est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes. 0 1−1−2 −3−2 0 1! 3121−−339−−431−−−211−−−131 1−1 Le produit matriciel a toutes les propriétés que l’on attend d’un produit, sauf qu’il n’est pas commutatif.

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