UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

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thieg

Publié le

01 juin 2009

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 3 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Juin 2009 Calculatrices non autorisees Horaire : 9h-12h Exercice 1 Determiner les series entieres solutions de l'equation differentielle x2(1? x)y?? ? x(x + 1)y? + y = 0 . Exercice 2 Soit la serie entiere S(x) = ∞ ∑ n=0 cos2 n n! xn . Montrer que le rayon de convergence est infini, puis calculer la somme de cette serie pour tout x reel. Exercice 3 Soit f la fonction definie sur R par f(x) = 3x ∫ x arctan(t2) dt . Sans chercher a calculer cette integrale, a) montrer que f est impaire ; b) calculer f ? et montrer que f ? est positive ; c) en utilisant la formule de la moyenne, montrer que f(x) ? +∞ pix ; d) montrer que pix? f(x) = 3x ∫ x arctan 1 t2 dt . En deduire que cette difference tend vers 0 lorsque x tend vers +∞, et que la courbe representative de f admet une asymptote.

meme de la serie entiere

nanxn? ∞

serie entiere

anxn ?

rayon infini

solution de l'equation differentielle

serie geometrique de rayon

rayon de convergence

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01 juin 2009

Série entière Rayon de convergence

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI2na´ne`em´reeeeuDt:jesudusreeu3h Analyse 2Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautorise´s Juin2009Calculatricesnonautoris´ees Horaire : 9h12h

Exercice 1osseituldsno´’les´esieerntseeri`itleelequationdiﬀ´erenrlnemieretD´ 2′′ ′ x(1−x)y−x(x+ 1)y+y= 0.

Exercice 2Se´saltionti`rieeere ∞ X 2 cosn n S(x) =x . n! n=0 Montrerquelerayondeconvergenceestinﬁni,puiscalculerlasommedecettese´riepour toutxr.el´e

Exercice 3Soitfsurﬁniedne´tcoifanolRpar 3x Z 2 f(xarctan() = t)dt . x Sanschercher`acalculercetteint´egrale, a) montrer quefest impaire ; ′ ′ b) calculerfet montrer quefest positive ; c) en utilisant la formule de la moyenne, montrer que f(x)∼πx; +∞ d) montrer que 3x Z 1 πx−f(xarctan) = dt . 2 t x End´eduirequecettediﬀe´rencetendvers0lorsquextend vers +∞, et que la courbe repre´sentativedefto.emytpre’loDnnadneasmetuve.rebr´rpeneseitatlualderettceouec

Exercice 4Trouver la limite de la suite (un)n≥1nﬁe´drpaie n X 1 1 un=. n k+n k=1

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