UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

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thieg

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01 mars 2007

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Date : 23 mars 2007 Calculatrices non autorisees Horaire : 16h30-18h30 Question de cours (2p) Que peut-on dire du rayon de convergence R de la somme de deux series entieres de rayons respectifs R1 et R2 ? Demontrer le resultat lorsque R1 < R2. Exercice 1 (3,5p) Soit n ? N?, et soit fn la fonction definie sur [ 0, ∞ [ par fn(x) = (1 + xn)1/n . a) Etudier la convergence uniforme sur [ 0, ∞ [ de la suite (fn)n≥1. b) Montrer que la suite ( 2∫ 0 fn(x) dx ) n≥1 converge et calculer sa limite. Exercice 2 (2,5p) Etudier la nature de la serie de terme general un = n! (2n)n . Exercice 3 (2,5p) Soit ? ? R. Etudier pour quelles valeurs de ? la serie de terme general un = arctan(n2?) n? converge. Exercice 4 (2,5p) Soit ? ? ] 0, ∞ [ .

entieres de rayons respectifs

serie

serie de riemann de signe constant

serie de riemann

theoreme d'interversion des integrales et des limites

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01 mars 2007

Série de Riemann

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI2na´ne`em´reeeeuDt:jesudusreeu2h Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautorise´s Date:23mars2007Calculatricesnonautorise´es Horaire : 16h30-18h30

Question de courspeut-on dire du rayon de convergence(2p) Que Rde la somme de deuxs´eriesenti`eresderayonsrespectifsR1etR2eustlree´sruqtaol?D´ererlmontR1< R2.

∗ Exercice 1(3,5p) Soitn∈N, et soitfnsur[0nd´eﬁniefanotcoil,∞[ par

n1/n fn(x) = (1 +x).

a) Etudier la convergence uniforme sur [ 0,∞la suite ([ de fn)n≥1.   2 R b) Montrer que la suitefn(x)dxconverge et calculer sa limite. 0 n≥1 n! Exercice 2urateled´easedrirete´geme´nelar2(5,)ptEdueilrnaun= . n (2n)

Exercice 3(2,5p) Soitα∈R. Etudier pour quelles valeurs deαreem´gnee´irdeteasl´eral 2α arctan(n) un= converge. α n Exercice 4(2,5p) Soitα∈] 0,∞[ . Etudier pour quelles valeurs deαlasreemedet´eri   n (−1) g´ene´ralun= ln a) converge absolument, 1 + b) converge. α n

x+ cosn Exercice 5(4p) Pour toutn∈N, soitunuresnieﬁd´ontincofal0[,∞[ parun(x) = . n x+ 2 ∞ X Montrerquelase´riedetermeg´en´eralunconverge simplement et que la sommef(x) =un(x), n=0 0 d´eﬁnitunefonctionde´rivablesur[0,∞Calculer[ . f(0).

∞ n X (−1) n Exercice 6(4,5p) SoitS(x) =x. n+ 2 n=0 a)De´terminerlerayondeconvergenceR, l’ensembleAsleeruopqselsleuladesnombresr´ s´erieconvergeabsolumentetl’ensembleCdem.brrgeesnopslee´rsuqselruo´easslelveonecri

b)Calculerlasommedelase´riepourtoutxdeC

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