UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
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Français
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2008
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Date : 20 mars 2008 Calculatrices non autorisees Horaire : 9h-11h Question de cours (2p) Que peut-on dire du rayon de convergence R de la somme de deux series entieres de rayons respectifs R1 et R2 ? Demontrer le resultat lorsque R1 < R2. Exercice 1 (4p) Soit a ? R et n ? N, et soit fn la fonction definie sur R par fn(x) = nx3 + a nx2 + 1 . a) Determiner l'ensemble des nombres a pour lesquels la suite (fn)n≥0 converge uni- formement sur R. b) En deduire que la suite ? ? 1 ∫ 0 nx3 nx2 + 1 dx ? ? n≥0 converge et calculer sa limite. Exercice 2 (4p) Etudier la nature des series dont le terme general est a) un = n ( sh 1n ? sin 1 n ) , b) vn = (2n)! (n!)2 , c) wn = sin n ch n , d) tn = sin (?1)n n .
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UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Date : 20 mars 2008 Calculatrices non autorisees Horaire : 9h-11h Question de cours (2p) Que peut-on dire du rayon de convergence R de la somme de deux series entieres de rayons respectifs R1 et R2 ? Demontrer le resultat lorsque R1 < R2. Exercice 1 (4p) Soit a ? R et n ? N, et soit fn la fonction definie sur R par fn(x) = nx3 + a nx2 + 1 . a) Determiner l'ensemble des nombres a pour lesquels la suite (fn)n≥0 converge uni- formement sur R. b) En deduire que la suite ? ? 1 ∫ 0 nx3 nx2 + 1 dx ? ? n≥0 converge et calculer sa limite. Exercice 2 (4p) Etudier la nature des series dont le terme general est a) un = n ( sh 1n ? sin 1 n ) , b) vn = (2n)! (n!)2 , c) wn = sin n ch n , d) tn = sin (?1)n n .
- entieres de rayons respectifs
- methodes premiere methode
- nx3 nx2
- serie geometrique de raison
- interversion de limite et d'integrale
- nx2
- serie de riemann convergente
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI2na´ne`em´reeeeuDt:jesudusreeu2h Analyse 2Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautorise´s Date:20mars2008Calculatricesnonautorise´es Horaire : 9h11h
Question de cours(2p) Que peuton dire du rayon de convergenceRde la somme de deuxse´riesenti`eresderayonsrespectifsR1etR2ltroluat?qseuontrD´emr´eserleR1< R2.
Exercice 1(4p) Soita∈Retn∈N, et soitfnefiniesurcnitno´dalofRpar 3 nx+a fn(x) =. 2 nx+ 1 a)D´eterminerl’ensembledesnombresapour lesquels la suite (fn)n≥0converge uni form´ementsurR. 1 Z 3 nx b)Ende´duirequelasuitedxconverge et calculer sa limite. 2 nx+ 1 0 n≥0
Exercice 2tselar4(tE)peidunalreids´sredesetaruen´emeg´eterontl n 1 1 (2n)! sinn(−1) a)un=nsh−sin, b)vn=, c)wn=, d)tn= sin. 2 n n(n!) chn n + Exercice 3(5,5p) Soitn∈N, et soitfnruseinfiefolad´ontincRpar x fn(x) =. n x+ 2 a)Montrerquelase´riedetermege´n´eralfnconverge simplement et que la somme ∞ X +0 f(x) =fn(x),noitcnofenutdinefi´frsuleabiverd´R. Calculerf(0). n=0 ∞+ b) Montrer quefsurest de classe C R.
∞ X nπ n Exercice 4(4,5p) SoitS(x) = sinx. 3 n=0 a)De´terminerlerayondeconvergenceRecttsee´edeeer’etleerii`ntmesnelbCdes nombres re´elspourlesquelselleconverge.
b) Pour toutxdeC, calculer la sommeS(xp)raedxu´mteohdesdiff´erentes.
