Universite H Poincare Nancy I

Universit´e H. Poincar´e, Nancy I
Master 2 IMOI
Ing´enierie Math´ematique et Outils Informatiques
Option Calcul Scientifique
M´ethodes num´eriques pour la dynamique des fluides
Notes de cours/J.-F. Scheid
Ann´ee 2011-20122Table des mati`eres
1 Introduction et classification des EDP 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 EDP lin´eaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 EDP du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Probl`eme bien pos´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Classification des EDP du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 EDP elliptiques lin´eaires 9
2.1 Introduction - Propri´et´es des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Quelques rappels sur l’existence, l’unicit´e et la r´egularit´e des solutions . . . . . . . 9
2.1.2 Principes du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Diff´erences finies pour le cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Erreur de consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Matrices monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.5 Autres conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Diff´erences finies pour le cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Un sch´ema a` 5 points pour le Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Un autre sch´ema `a 5 points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Un sch´ema `a 9 points pour fonction harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4 Cas d’un domaine non-rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.5 Op´erateur sous forme de divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.6 Autres conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Evaluation pratique de l’ordre de convergence d’une m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 M´ethode de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 EDP paraboliques lin´eaires 37
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Existence et unicit´e des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Principes du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Equation de la chaleur en dimension 1 d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Sch´ema d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Sch´ema d’Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Sch´ema de Crank-Nicholson (1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4 -sch´ema pour l’´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.5 Autres sch´emas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Cas de la dimension 2 d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 -sch´ema pour l’´equation de la chaleur en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2 Directions altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1`2 TABLE DES MATIERES
4 EDP hyperboliques lin´eaires 55
4.1 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Existence, unicit´e et propri´et´es des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Un -sch´ema centr´e pour l’´equation des ondes (1D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.2 Sch´ema centr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3 Sch´ema de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.4 Sch´ema d´ecentr´e (upwind) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.5 Sch´ema de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.6 Comparaison des diff´erents sch´emas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.7 Quelques sch´emas pour le 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 EDP hyperboliques non-lin´eaires - Lois de conservation 79
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Solutions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Relations de Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5 Solutions d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6 Probl`eme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6.1 Cas ou` f est strictement convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6.2 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.7 Sch´emas d’approximations aux Diff´erences Finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7.1 Introduction et g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7.2 Sch´ema de Godounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7.3 Sch´ema d’Engquist-Osher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Equations de Stokes 99
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 Adimensionalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3 R´eductions des ´equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4 Discr´etisation des ´equations de Stokes par Diff´erences Finies . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4.2 Sch´ema MAC pour le probl`eme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.3 Forme matricielle du sch´ema de MAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.5 R´esolution du syst`eme discr´etis´e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.6 Conditions de Dirichlet non-homog`enes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.7 Traitement pratique des conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.8 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7 Equations de Navier-Stokes 113
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 Semi-discr´etisation en temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Discr´etisation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Forme matricielle du sch´ema semi-implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5 R´esolution du syst`eme discr´etis´e de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.6 Conditions de Dirichlet non-homog`enes - Traitement des conditions limites . . . . . . . . 118
7.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
R´ef´erences 121Chapitre 1
Introduction et classification des EDP
1.1 Introduction
On s’int´eresse aux ´equations aux d´eriv´eees partielles sous la forme g´en´erale
αF(x;u;Du; ;D u) = 0; (1.1)
ou` u est une fonction inconnue des N variables regroup´ees dans le vecteur x = (x ; ;x ); est un1 N
jαj@
αmulti-indice = ( ; ; ) et D = avecjj = + ++ .1 N 1 2 Nα α1 N@x @x1 N
L’´equation (1.1) est du premier ordre sijj = 1 et du deuxi`eme ordre sijj = 2.
L’´equation est dite :
α lin´eaire si F est lin´eaire en u;Du; ;D u ( u et v solutions) u+v solution).
α semi-lin´eaire si F est lin´eaire en Du; ;D u.
α quasi-lin´eair