Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees Bat M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Agregation externe Annee 2003-2004 Corrige de l'exercice test de Neyman-Pearson et detection radar Commenc¸ons par quelques rappels du cours. On considere un modele statistique( ?,F , (P?)??? ) . En pratique, on prend pour P? la loi de l'echantillon observe (considere comme vecteur aleatoire a composantes i.i.d.) lorsque la valeur du parametre inconnu est ?. On se donne deux parties disjointes ?0 et ?1 de ?. Le probleme est de decider apres observation d'un ? ? ?, en pratique apres observation d'un echantillon numerique (x1, . . . , xn), si la vraie valeur du parametre est dans ?0 ou dans ?1. On privilegie l'une des deux hypotheses : (H0) : ? ? ?0, appelee hypothese nulle (celle a laquelle on a « envie » de croire). L'autre hypothese (H1) : ? ? ?1 est appelee hypothese alternative. Il importe de noter que ?1 n'est pas forcement egal a tout le complementaire de ?0 dans ?. Une statistique de test ? est une application mesurable ? ? [0, 1], donc en pratique une fonction mesurable du vecteur echantillon observe.
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Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Agregation externe Annee 2003-2004 Corrige de l'exercice test de Neyman-Pearson et detection radar Commenc¸ons par quelques rappels du cours. On considere un modele statistique( ?,F , (P?)??? ) . En pratique, on prend pour P? la loi de l'echantillon observe (considere comme vecteur aleatoire a composantes i.i.d.) lorsque la valeur du parametre inconnu est ?. On se donne deux parties disjointes ?0 et ?1 de ?. Le probleme est de decider apres observation d'un ? ? ?, en pratique apres observation d'un echantillon numerique (x1, . . . , xn), si la vraie valeur du parametre est dans ?0 ou dans ?1. On privilegie l'une des deux hypotheses : (H0) : ? ? ?0, appelee hypothese nulle (celle a laquelle on a « envie » de croire). L'autre hypothese (H1) : ? ? ?1 est appelee hypothese alternative. Il importe de noter que ?1 n'est pas forcement egal a tout le complementaire de ?0 dans ?. Une statistique de test ? est une application mesurable ? ? [0, 1], donc en pratique une fonction mesurable du vecteur echantillon observe.
- ?? quantile de la loi gaussienne standard
- erreur de deuxieme espece
- loi de l'echantillon
- frequence empirique des cibles
- test de neyman
- hypothese nulle
- vecteur ligne des moyennes empiriques
Publié par
Langue
Français
Agre´gationexterne
Universit´e U.F.R. de Bˆat.M2,
des Sciences et Technologies de Lille Mathe´matiquesPuresetApplique´es F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex
Ann´ee2003-2004
Corrig´edel’exercicetestdeNeyman-Pearsonetde´tectionradar Commen¸consparquelquesrappelsducours.Onconside`reunmod`elestatistique Ω,F,(Pθ)θ∈Θ. En pratique, on prend pourPθvresbonoisnoc(e´´el’deoilltianchlla´ed´er commevecteurale´atoirea`composantesi.i.d.)lorsquelavaleurduparame`treinconnu estθ. On se donne deux parties disjointes Θ0et Θ1.LeΘdder´ecidtdeemselbe`peor apr`esobservationd’unω∈atrvseobn´’undiolitnahcee´munnolriqueΩ,taqinerp`rseeupa (x1, . . . , xnpadum`rareettdesΘsna)s,livaareiavelru0ou dans Θ1. Onprivile´giel’unedesdeuxhypoth`eses:(H0) :θ∈Θ0ppa,luelenesh`otypeh´eel (cellea`laquelleona«envie»ua’Lhertiorc.)ere(deotypesh`H1) :θ∈Θ1pptaese´eel hypothe`sealternative. Il importe de noter que Θ1uotaeltptsa’nsercfome´e´entl`ga comple´mentairedeΘ0dans Θ. Une statistique de testϕest une application mesurable Ω→[0,1], donc en pratique unefonctionmesurableduvecteur´echantillonobserve´.Letestassoci´e`aϕestd´efinipar lare`gleded´ecisionsuivante: – Siϕ(ω) = 0, on accepte (H0). – Siϕ(ω) = 1, on rejette (H0). – Siϕ(ω) =p∈]0,1[, on rejette (H0ve)ae´tilibaborpcpet on l’accepte avec proba-bilit´e1−p. On dit que le test est´edrmteisintesiϕne peut prendre que les valeurs 0 et 1. Sinon, on parle de testdoanres´mioustochastiquesetne´dtacelu’ds.nsDanfitialte,ond´eterminis −1 re´gioncritiqueour´egionderejetR:=ϕ({1}) ={ω∈Ω;ϕ(ω) = 1}. Clairement dans ce cas, la fonctionϕ’´tsriecreuepϕ=1R. Lade´cisionprisea`l’issuedutestpeutdonnerlieua`deuxtypesd’erreurs –esp``ereecerruele’erimdrpeter(rejeutiec`aonsiqsH0) alors qu’elle est vraie, –eurr’elece`pseeme`ixuededrnsiste`aquico(caectpreH0) alors qu’elle est fausse.
Acceptation de (H0) Rejet de (H0)
(H0) vraie Pas d’erreur Erreurpremi`ereesp`ece
(H0) fausse Erreurdeuxie`meespe`ce Pas d’erreur
Oncontroˆlel’erreurdepremie`reesp`eceparleniveauαϕfie´d,tsetudrnipa
αϕ:= sup Eθϕ. θ∈Θ0 L’erreurdedeuxi`emeespe`ceestcontroˆle´eparlaquantit´e sup 1−Eθϕ . θ∈Θ1
(1)
(2)
2
Onde´finitaussilafonctionpuissancedu test par
βϕ: Θ0∪Θ1→[0,1],
θ7→Eθϕ.
Ch.Suquet,T.P. Radar
(3)
Dans ces formules, Eθϕlealriaboire´eatd´l’neigesnare´pseavaledecϕsous la loiPθ. Il est utile de noter que Eθϕlit´ederejeter(ltseorpaibabH0) quand la vraie valeur du parame`treestθxuyhededcesanalsplesssim`esepoth(.Ds)urcof.(ci.e.Θ0={θ0}et Θ1={θ1}),αderejeteabibil´ttlesroaper(H0) alors qu’elle est vraie et 1−Eθ1ϕest la probabilite´d’accepter(H0) alors qu’elle est fausse. On dit que le test estsans biaissi pour toutθ∈Θ1,αϕ≤Eθϕ, autrement dit si laprobabilit´ederejeter(H0) lorsqu’elle est vraie (i. e.lorsqueθ∈Θ0) est toujours inf´erieureou´egalea`laprobabilit´ederejeter(H0) lorsqu’elle est fausse (i. e.lorsque θ∈Θ1).
Ex 1.aradnrioctte´eTestdeNraosendtyeam-neP[2] Unradaractifdesurveillancea´erienneadescaracte´ristiquestellesqu’unee´ventuelle ` ciblere´fl´echitNlabnu’dsA.egayad’deail’teaitrundapaemtn´t,e=20impulsionslor cesN-resbo’druteecnvtuenssniurelofcabideleescnplrs´ieoaismdpeuesfle´necncshri´e vations (zi)1≤i≤Navec
(H1) (H0)
zi=A+bi zi= 0 +bi
enpr´esencedecible, en l’absence de cible,
ou`lesbiesnniesstae´laseuagseriontdesoiablsvarN(0, σin)elisantles´dpeneadtnseom´d divers bruits (σest connu). La figure1sres´seopurilnthaecn´euntsenoitavresbo’dnol (H0) et sous (H1.´en´ereremrbmeeˆuolrp)esilipcrt.uiicVo`ivrgalaayatestn
// affichage graphique bruit et signal+bruit
N=20; sgm=0.6;rand(’normal’);Br=sgm.*rand(N,1);//bruitsimule´ t=(1:N)’; A=0.8; SgBr=A+Br;// signal + bruit xbasc(); xsetech([0,0,1,0.5]); plot2d3(t,Br,style=2,rect=[0,-2,22,3],strf=’175’,leg=’bruit’) xsetech([0,0.5,1,0.5]); plot2d3(t,SgBr,style=2,rect=[0,-2,22,3],strf=’175’,leg=’signal + bruit’)
Danscecontexte,leserreursdepremi`ereetdedeuxie`meespe`ceontunesignification bienconcre`te: (H0() vraie H0) fausse Acceptation de (H0rNond´etection)aPdse’rrue Rejet de (H0) Fausse alarme Pas d’erreur
Ch.Suquet,T.P. Radar
Fig.eurB–1t´uibralgnsietitA= 0.8,σ= 0.6
3
1)Onestexactementdanslasituationdonne´ecommeexempleencours:testde l’hypoth`esenulle«ra´esp’etauevnclm0»ertnochtopyh’ltanreviese`etla«ceanesl’erp´ vautm1», avecm0etm1> m0l’´echanconnus,nneucoceanrivadeensisuagtnate´nollit 2 σenonel’´onsdtatiseonevlcA.ostnelsiennesobserv´eese´laiotagserssuae,c´svleiaaresbl zi,m0= 0 etm1=A. On sait alors que le test de Neyman-Pearson de niveauαde (H0) contre (H1dnregeoien´r)uaejetRde la forme n o tασ N R= (z1, . . . , zN)∈R;z >√, N o`uz:= (z1+∙ ∙ ∙+zN)/Nseltempiriquamoyenneuseeselrlace´lucnsioseobatrvziettα est le 1−αquantile de la loi gaussienne standardN(0,niquesolution1infie´d,)u’lemmoc del’´equation 1−Φ(t) =α,(4) Φ´etantlaf.d.r.deN(0,´eedtnjeredeongie´raleuqeuqramertnenemu1aucenpOd.n) deAr.leseLaacelcualttemdtnapircreptlt´eestetd)ffiiuclu(eepittdesnbouiciu.Vo l’utilisation decdfnor. alpha=10^(-6); talpha=cdfnor("X",0,1,1-alpha,alpha); N=20; sgm=0.6; bornrej=talpha.*sgm.*N^(-0.5) // rejet si moyenne depasse cette valeur Enex´ecutantcescript,onobtientpourbornederejet0.6378. Voici maintenant comment vectoriser ce bout de script si on veut essayer diverses valeurs deαe´rcnae,c(poei’deurrr surcdfnorcomprise. . .)
