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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2011/2012 Licence Proﬁl Mécanique Semestre 4 Compléments d'analyse réelle M 203' Exercices sur les séries Exercice 1 Pour chacune des suites suivantes déterminer, quand il est possible, un majorant, un minorant, le plus grand et le plus petit élément, la borne inférieure, la borne supérieure et la limite. (Note : pour la suite (3), observer que 2 < 2/ ln(2) < 3) (1) (cos(npi/6)/n)n≥1 ; (2) (n2e?n)n≥1 ; (3) (n2/2n)n≥0 ; (4) ((?1)n arctann)n≥0 ; (5) ( tan pi 4 ( 1 + (?1)n n? 1 n )) n≥1 ; (6) ( n2 sin 2pin! 12 ) n≥0 . Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, donner les premiers six termes de la série de terme général un, c.a.d. écrire les sommes partielles d'ordres n < 6 de la série. Pour chacune des séries, établir la nature de la série, c.a.d. déterminer si la série converge ou diverge ; si la série converge déterminer sa somme et le reste d'ordre n ? N.

sin ?n2

compléments d'analyse réelle

pi √

séries convergentes

borne inférieure

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Borne (mathématiques)

2< 2=ln(2)< 3
(cos(n = 6)=n)n1
2 n(n e )n1
2 n(n =2 )n0
n(( 1) arctann)n0

n 1ntan 1+( 1)
4 n
n1

2n!
2n sin
12 n0
n< 6
n2N
nu = ( 1)n
2u =nn
u = cos(2n=3)n
{ n
3u =en
nu = 10n
2 2u = (n 1)=(n +1)n
P
1
n1 (n+2)(n+3)
d'ordre(3)s?ries;el(2)s?rie;P(1)ol)s?riesquelaersuivobservsur;e(4)le(3),tsuiteclaergeouresp.:;(Note(3).;limiteCompl?ments;;(5)LiclaExertsonesoit?rieure?essuplaorneleblalachnoloinf?rieure,leornequandbtesladest,c?l?mencicets?rieseti203'p;r(6)(5)pluslecetegrand2011/2012plusdele3t,anminoransoitunergent,soitjoranoumacelles-ci.uncas,.deExerpcicecon2tes,Danseossible,(1);Tdesdescasrestesuiviand?terminer,t(1)s,andonnersuitesleshacuneprem(2)iersoursix1termes;deExerlaless?rieExercicesdeMterme(4)g?n?ralleun,?c.a.d.d'analyse?crire;les4sommesSemestrpartiellesaniqued'ordres(6)pM?estPrlencdela1s?rie.LilP.ourcicecLeshacunesuivdestess?ries,t?tablirbanalemenladivnaturetes,det?lescopiques,ladess?rie,g?om?triques,c.a.d.lid?terminer?siDanslahaques?ried?t?rminerconnaturevlaergeet,ouourdivs?riesergev;nsid?terminerlasomms?riedecons?rie.vgiesergeed?termineretsaSciencsommeUniversit?etc1hacun
X 2
nln 1
n
n1

X 2
nln 1
n
n3
X 1
2n +7n+12
n0
X 2
(2n+1)(2n+3)
n2
n nX3 +5
n7
n0
X 2n 1
ln
n+1
n1
Xsinhn
n3
n0
X 1
24n 1
n1
X 1
2n 1
n2
Xcoshn
n2
n0

X 1
nsin
n
n1
d 1
X 1
:
n(n+1):::(n+d)
n1
X X Xlnn 1 1
; ; :
3n nlnn n(lnn)
n2 n2 n2
;(12)Exer;P(5).;;;;touten(11)laExer(2)cice;54(1)cice;(10)(8)2(4)somme,d?terminers?ries(7)ourtier(9);nature(3)des?tablirla(6);p log a2n +1 nu =e u = :n n
log na
un
1pu =n 3n +1
1u =n 1
3 3(n +1)
1 u = k2Nn k(lnn)
1u =n n(lnn)
nu = sinn 2n +1
1u = arctann 2n +n+1

2
u = ln 1+n
n(n+3)
1
n1
u =e 1+n
n

u = 1 cos pn
n
1 1
n+1nu =n nn
un
3nu =n n!
p
2n +1u =en
n2 n!u =n nn
n4 n!u =n nn
258:::(3n 1)
u =n 159:::(4n 3)
2n 1
n
u =n
3n 1
2n 1
u = pn
n( 2)
3n
1
u = cosn
n
(7)s?ries(6)deExerterme(7)alc3;etterme;natureles(8)Exer7cice(6)6;(2):;(10)Danss?ries?tudier?tudier(5)haque;(3)(5)r;cice(4);(2).;(2)(1);:(1),g?n?ral(3)deg?n?ral;terme;dedess?rieslades;naturecas,la;(9)(8)cas,;haqueg?n?cDans?tudier;(4);; nlnn
n+3
u =n
2n+1
lnnnu =n n!
r
un
k u =n r r> 0;2Rn
nru = r 0n nn
nru = r 0n n!
nu = (nsin(r=n)) r 0n
P p
n( 1) n+144
P
n n( 1)
n+144
pP
nn( 1)
n+144P
n( 1) (=2 arctann)
pP nn( 1)
n+144 nX 2n( 1) nln 1+
3n
nX ( 1)
n3n+( 1)
nX ( 1)n( 1) p
nn+( 1)
P cos(!n)
!2R2!(! 1)n +n+1
P {n e 2R2sinn +n+2P
n nn x x2C
nX 2x+3
x2R
3x+2
P 2{ nxe x2C2n
P 2{ nxe x2C
n
p;,(2),;con(3)4;c(8)lesquels;tes,(4)s(7);;;,(2)(1);erge.estdivsi,oupr?cisanergelesv(4)con(3)g?n?ral..8terme;,cas,les10aleurs?tudier,lapnature:desergences?ries(6)suivergenancontes,enentfonctionourdess?riedi?ren,tes.v;al(9)eurs(10)desExerparam?tres.cice(1)(3),(4)deDansshaques?ried?terminer.v(6);;desExerparam?trescice,9(5)?tudierourla(1)natureabsoluedes,s?riesv,;(5)la;tessuivv;,(2)anExercice;