Universite de Rouen Master MFA Analyse numerique des EDP
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Universite de Rouen Master 1, MFA 2010–2011 Analyse numerique des EDP Elements finis en dimension 2 1. Integration de polynomes dans un triangle a) Soit k1, k2 ? N. Montrer que I(k1, k2) = ∫ 1 0 tk1(1? t)k2 dt = k1!k2! (k1 + k2 + 1)! . b) On considere le triangle de reference T ? qui a pour sommets (1, 0), (0, 1), (0, 0). Deduire de la question precedente que ?k1, k2, k3 ? N on a ∫ T? xk1yk2(1? x? y)k3 dx dy = k1!k2!k3! (k1 + k2 + k3 + 2)! . [On integrera d'abord par rapport a y en faisant un changement de variables approprie.] c) Plus generalement, on considere un triangle T non degenere et on note (?1, ?2, ?3) ses coordonnees barycentriques. Montrer que ?k1, k2, k3 ? N on a ∫ T ?k11 ? k2 2 ? k3 3 dx dy = 2 mes(T ) k1!k2!k3! (k1 + k2 + k3 + 2)! . [On ecrira T comme l'image de T ? par une application affine que l'on explicitera.
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Universite de Rouen Master 1, MFA 2010–2011 Analyse numerique des EDP Elements finis en dimension 2 1. Integration de polynomes dans un triangle a) Soit k1, k2 ? N. Montrer que I(k1, k2) = ∫ 1 0 tk1(1? t)k2 dt = k1!k2! (k1 + k2 + 1)! . b) On considere le triangle de reference T ? qui a pour sommets (1, 0), (0, 1), (0, 0). Deduire de la question precedente que ?k1, k2, k3 ? N on a ∫ T? xk1yk2(1? x? y)k3 dx dy = k1!k2!k3! (k1 + k2 + k3 + 2)! . [On integrera d'abord par rapport a y en faisant un changement de variables approprie.] c) Plus generalement, on considere un triangle T non degenere et on note (?1, ?2, ?3) ses coordonnees barycentriques. Montrer que ?k1, k2, k3 ? N on a ∫ T ?k11 ? k2 2 ? k3 3 dx dy = 2 mes(T ) k1!k2!k3! (k1 + k2 + k3 + 2)! . [On ecrira T comme l'image de T ? par une application affine que l'on explicitera.
- triangle de sommets
- systeme lineaire
- methode des elements finis pour la resolution de l'equation
- ?4 ?8
- elements finis
- probleme variationnel
- polynomes de base associee
- expression des polynomes de base ?1
Exercice 1 :ASSERVISSEMENT EN ACCELERATION D'UN PLATEAU. Modélisation. On désire contrôler l’accélérationd’un plateau.Pour cela, un capteur d’accélération, fixé sur le plateau et de sensibilité S, est utilisé dans la chaîne de retour du système. Le moteur permettant la motorisation du plateau est modélisé par la fonction de transfert. On modélise le correcteur par la fonction de transfert. Le système asservi étudié est le suivant :
Avec : la transformée de Laplace de où g est l’accélération de la pesanteur
Question 1 :Quelle doit être la fonction de transfert T(p) du transducteur qui traduira l’accélération de consigne entension de consigne e(t).
On applique à l'entrée une consigne en accélération(où g est l’accélération de la pesanteur).Première étude : Système asservi sans correction C(p) = 1. Question 2 :Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système. Identifier les différents paramètres de cette fonction. Faire l’application numérique.Question 3 :Calculer le temps de réponse à 5 % de ce système à une entrée en échelon. Conclure par rapport au système initial (= sans être asservi). Question 4 :Donner la valeur de l'accélération en régime permanent. Ce système estil précis? Sinon, donner l’erreur statique. Conclure.Question 5 :Donner l’allure de la réponse s(t) de ce systèmeen précisant les points caractéristiques. Deuxième étude : Système asservi avec un correcteur intégral C(p) = 1/p. Question 6 :Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système. Identifier les différents paramètres de cette fonction. Faire l’application numérique.Question 7 :Calculer le temps de réponse à 5 % de ce système à une entrée en échelon. Conclure par rapport au système asservi précédent (système en boucle fermé). Question 8 :Donner la valeur de l'accélération en régime permanent. Ce système estil précis? Sinon, donner l’erreur statique. Conclure.Question 9 :Donner l’allure de la réponse s(t) de ce système en précisant les points caractéristiques.Bilan. Question 10 :n).Conclure sur les 3 cas (systèmes initial, asservi sans correction, asservi avec correctio
Exercice 2 :SYSTEME DE CORRECTION DE PORTEE D’UN PHARE AUTOMOBILE. (Selon le concours CCP PSI 2003)1) Présentation du système. L‘assiette d‘un véhicule se modifie avec sa charge, le profil de la route ou les conditions de conduite (phase de freinage ou d‘accélération). Cette modification entraîne une variation d‘inclinaison de l‘axe du faisceau lumineux produit par les phares du véhicule. Ceux ci peuvent alors éblouir d‘autres conducteurs ou mal éclairer la chaussée.
Certaines voitures sont équipées de système de correction de portée. Ce système fait appel à des capteurs d‘assiette reliés aux essieux avant et arrière du véhicule. Les données sont traitées électroniquement par un calculateur et transmises aux actionneurs situés derrière les projecteurs. La position du projecteur est ajustée en maintenant un angle de faisceau optimal évitant tout éblouissement et fournissant le meilleur éclairage de la route. Le système étudié est un correcteur de portée statique, qui corrige la portée lorsque le véhicule est àl‘arrêt et conserve cette correction lorsque le véhicule roule (le correcteur ne tient compte que de la variation d‘assiette due à la charge).Le but de l‘étude est d‘analyser le système et de montrer s‘il est capable de corriger la portée de manière dynamique, c‘est à dire en tenant compte des variations d‘assiette dues au profil de la route. Éléments constitutifs du correcteur de portée : Capteurs d’assiette :codeurs optiques permettant de mesurer le débattement des suspensions. Système d’orientation : bloc d’orientation + motoréducteur + système vis écrou Le bloc d‘orientation supporte les différentes lampes du phare (codes, clignotants…). Il peut pivoter par rapport au support lié à la carrosserie autour d‘un axe horizontal (axe de rotation indiqué sur la figure ci dessous). Le bloc est protégé par une vitre liée à la carrosserie. Ce mouvement est motorisé grâce au moto réducteur + système vis écrou. Il existe aussi une possibilité de réglage manuel en sortie d‘usine ou en cas de défaillance du sstème électriue.
Calculateur :à partir des données des capteurs d‘assiette, le calculateur pilote le motoréducteur.
Diagrammes SADT niveau A0, A0 et A3 :
Question 1 :Déterminer A, B, C, D, E, F et G.
2) Étudede la chaîne d’action complète.La chaîne d‘action complète comprend :L‘ensembletransducteur (capteur + amplificateur + calculateur)qui mesure l‘angle de tangage β du véhicule et commande le moteur du système. L‘ensemble estassimilable à un gain pur :. Lemoteur à courant continudont la fonction de transfert est notée M(p). On équipe ce moteur d‘unretour tachymétriqueassimilable à un gain pur :. Leréducteur de vitessedont le rapport de réduction est de 490. L’ensemblevisécrou(de pas p = 6mm)qui transforme la rotation de l’axe du réducteur en translation de l’axe de sortie. (NB: 1 tour de la vis fait avancer de 1 pas l’écrou). Lebloc d‘orientation: l‘anglede correction de portée θ(t) étant petit, on peut linéariser la loi entrée sortie sur le domaine d‘utilisation ; l‘angle θ(t) est proportionnel au déplacement x(t) de la vis. (θet pour(t) varie entrex(t) compris entre 15mm et +15mm). Question 2 :Refaire, sur votre copie,le diagramme fonctionnel de la chaîne d‘action cidessous,en précisant le nom des blocs et les variables intermédiaires avec leurs unités. rad/s rad
NB :L’entrée B(p) est la transformée de Laplace de β(t) etlasortie Θ(p), la transformée de Laplace de θ(t). Attention, un bloc doit modéliser le passage de la vitesse angulaireà la position angulaire!! Question 3 :Refaire, sur votre copie, le diagramme fonctionnel de la chaîne d‘actioncidessus, mais cette foisci en précisant les fonctions de transfert de chaque bloc et les variables intermédiaires avec leurs unités. Pour déterminer la fonction de transfert du moteur, M(p), on dispose de sa réponse indicielle (entrée unitaire) :
Question 4 :Quelle est la forme de la fonction de transfert du moteur et pourquoi ? er Question 5 :Quelle hypothèse pouvonsnous faire pour modéliser le système par un système du 1 ordre ? ème Pour démontrer ce raisonnement, déterminer la réponse temporelle d’un système du 2ordre apériodique, puis simplifier cette réponse avec votre hypothèse et enfin conclure. Cette hypothèse vous sembletelle justifiée ici au vu de la réponse indicielle.
Question 6 :Montrer que pour un système de réponse indicielle, la tangente à la courbe à l‘instantquelconque coupe l‘asymptote deà l‘instant. er Question 7 :ordre. (Pour cela déterminer les paramètres caractéristiques sur laIdentifier M(p) à un 1 courbe). Question 8 :En déduire la fonction de transfertdu moteur équipé du retour tachymétrique. Quels sont les avantages et les inconvénients de cette boucle de retour. La fonction de transfert de la chaîne d‘action complète est donnée approximativement par: (Les angles d‘entrée et desortie sont exprimés en radian). Le véhicule est brusquement chargé à l‘arrière.Question 9 :Tracer,SANS FAIRE DE CALCUL, l‘allure de la loi d‘entrée, puisl‘allure de la réponse. Justifier votre tracé. Estce satisfaisant ? Pour remédier à ce problème on asservit le système en position en plaçant : un capteur de position, de gain, qui mesure l‘angle θ,ain A. un amplificateur de
Question 10 :Déterminer la nouvelle fonction de transfert
pos ainsi que ses paramètres caractéristiques.
Question 11 :Expliquer en deux lignes pourquoi le problème a été remédié. Question 12 :A partir de la courbe cicontre, déterminer la quantitéqui permet d‘avoir le système le plus rapide. Calculer alors le temps de réponse à 5% du système.
