Universite de ROUEN Master MFA 2eme annee
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Niveau: Supérieur, Master
Universite de ROUEN Master MFA 2eme annee 2004-2005 THEORIE DES OPERATEURS EXAMEN DU 14 JANVIER 2005 Duree 3h Documents interdits, sauf notes de cours. On pourra admettre le resultat d'une question pour repondre aux suivantes. I Autour du theoreme de Hille-Yosida Dans tout ce qui suit, E est un espace de Banach. L'application identique de E dans E est notee I. 1. Soit B un operateur m-accretif de E dans E. On munit D(B) de la norme ?x?D(B) = ?x?E + ?Bx?E. Pour tout ? ? E, on note v? l'unique element de C1([0,+∞[,E)?C([0,+∞[, D(B)) solution du probleme de Cauchy (1) { v˙(t) + Bv(t) = 0 (t ≥ 0) v(0) = ?. Montrer que, pour tout ? ? R, la fonction u? definie par u?(t) = e??tv?(t) est l'unique solution dans C1([0,+∞[,E)?C([0,+∞[, D(A)) du probleme (2) { u˙(t) + Au(t) = 0 (t ≥ 0) u(0) = ? ou A est un operateur lineaire de E dans E que l'on precisera et dont on indiquera le domaine.
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Universite de ROUEN Master MFA 2eme annee 2004-2005 THEORIE DES OPERATEURS EXAMEN DU 14 JANVIER 2005 Duree 3h Documents interdits, sauf notes de cours. On pourra admettre le resultat d'une question pour repondre aux suivantes. I Autour du theoreme de Hille-Yosida Dans tout ce qui suit, E est un espace de Banach. L'application identique de E dans E est notee I. 1. Soit B un operateur m-accretif de E dans E. On munit D(B) de la norme ?x?D(B) = ?x?E + ?Bx?E. Pour tout ? ? E, on note v? l'unique element de C1([0,+∞[,E)?C([0,+∞[, D(B)) solution du probleme de Cauchy (1) { v˙(t) + Bv(t) = 0 (t ≥ 0) v(0) = ?. Montrer que, pour tout ? ? R, la fonction u? definie par u?(t) = e??tv?(t) est l'unique solution dans C1([0,+∞[,E)?C([0,+∞[, D(A)) du probleme (2) { u˙(t) + Au(t) = 0 (t ≥ 0) u(0) = ? ou A est un operateur lineaire de E dans E que l'on precisera et dont on indiquera le domaine.
- probleme de cauchy
- equation differentielle
- lineaire avec retard
- solution unique
- nom d'equation avec retard pour la premiere equation
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Universit´edeROUEN
MasterMFA2`emeann´ee 2004-2005
´ ´ THEORIE DES OPERATEURS
EXAMEN DU 14 JANVIER 2005
Dure´e3h Documents interdits, sauf notes de cours. Onpourraadmettreler´esultatd’unequestionpourr´epondre aux suivantes.
IAutourduth´eor`emedeHille-Yosida Dans tout ce qui suit,Eest un espace de Banach. L’application identique deEdansEtson´teeeI. 1. SoitBfite´rccederp´nou-armeuatEdansE. On munitD(B) de la normekxk=kxk+kBxk. Pour toutϕ∈E, on notevϕl’unique D(B)E E 1 e´le´mentdeC([0,+∞[,E)∩C([0,+∞[, D(Beedeml`obprduonitulos)) Cauchy ( ˙v(t) +Bv(t) = 0(t≥0) (1) v(0) =ϕ. Montrer que, pour toutα∈R, la fonctionuϕ´edrpaiefinuϕ(t) = −αt1 e vϕ(t) est l’unique solution dans C([0,+∞[,E)∩C([0,+∞[, D(A)) duprobl`eme ( u˙ (t) +Au(t) = 0(t≥0) (2) u(0) =ϕ o`uAae´nilruetare´postuneeedirEdansEesarteodnorpe´icl’ueqnt on indiquera le domaine. 2.Ende´duireque,siAedereeusatneortpu´ai´einrlEdansEtel qu’il existe α∈Rpour lequelB:=A−αIosti)2(semdaenutacm-´ecrf,tioral 1 solution uniqueuϕdans C([0,+∞[,E)∩C([0,+∞[, D(Are´v,))tanifi ωt kuϕ(t)k ≤ekϕk, E E ou`ωr´ec’onpquel´eelutrnseresi.a 3. SoitAinrlai´eerp´euatonueredEdansE. Montrer que, pour que (2) ad-1 mette une solution uniqueuϕ([0dans C,+∞[,E)∩C([0,+∞[, D(A)), il suffit que (i)D(A) =E, (iiexiste) ilα∈Rtel que, en notantB’olruetare´pA+αIde domaine D(B) =D(A), on aitk(B+λI)xk ≥λkxkpour toutλ >0 et E E pour toutx∈D(A), (iiitout) pourλ > α,R(A+λI) =E. 1
