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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Pau et des Pays de l'Adour Annee 2008-2009 U.F.R. de Sciences et Techniques Departement de Mathematiques Mathematiques specifiques : Nombres L3 Concours Publics TD 5 Exercice 1 Dans cet exercice, on dira que deux parts sont ”egales” lorsqu'elles ont la meme aire. 1. On partage un gateau rectangulaire par ses diagonales. Les parts sont-elles ”egales” ? Justifier. 2. On partage un gateau rectangulaire en trac¸ant trois segments a partir d'un meme sommet: un segment vers le sommet oppose et deux segments vers les milieux des cotes opposes (Figure 1). Les parts sont-elles ”egales” ? Justifier. 3. ABC est un triangle rectangle en C. [AC] est partage en quatre segments de meme longueur CJ , et [CB] en six segments de meme longueur CI (Figure 2). Les polygones EFC, DGFE et ABGD ont-ils la meme aire ? Justifier. On pourra utiliser l'aire du rectangle CIKJ comme unite d'aire. Exercice 2 En empilant dix cubes comme sur la figure 3, on construit un escalier de hauteur : h = 4. 1. Indiquer le nombre de cubes necessaires pour realiser respectivement des escaliers de hau- teur 5 et de hauteur 9. 2. Y-a-t-il proportionnalite entre la hauteur des escaliers et le nombre de cubes necessaires pour les construire ? Justifier votre reponse.

universite de pau et des pays de l'adour annee

hauteur de l'escalier

unite d'aire

rectangle represente

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Universit´edePauetdesPaysdel’Adour U.F.R. de Sciences et Techniques D´epartementdeMath´ematiques

Math´ematiquesspe´ciﬁques:Nombres

L3 Concours Publics

TD 5

Ann´ee2008-2009

Exercice 1 Danscetexercice,ondiraquedeuxpartssont”´egales”lorsqu’ellesontlameˆmeaire. 1.Onpartageungˆateaurectangulaireparsesdiagonales.Lespartssont-elles”´egales”?Justiﬁer.

2.Onpartageungˆateaurectangulaireentrac¸anttroissegmentsa`partird’unmeˆmesommet: unsegmentverslesommetoppos´eetdeuxsegmentsverslesmilieuxdescoˆt´esoppose´s(Figure1). Lespartssont-elles”´egales”?Justiﬁer. 3.ABCest un triangle rectangle enC. [ACtse]e´gatrapenquatresegmentsedˆmmelenouguer CJ, et [CB]sienegxstnemmedsemeˆgnoleuruCI(Figure 2). Les polygonesEF C,DGF EetABGDli-tnoiteﬁ.rus?Jreaimeˆeamsl On pourra utiliser l’aire du rectangleCIKJcemmoreai.itund’´e Exercice 2 En empilant dix cubes comme sur la ﬁgure 3, on construit un escalier de hauteur :h= 4. 1.Indiquerlenombredecubesn´ecessairespourre´aliserrespectivementdesescaliersdehau-teur 5 et de hauteur 9.

2.Y-a-t-ilproportionnalite´entrelahauteurdesescaliersetlenombredecubesne´cessairespour lesconstruire?Justiﬁervotrer´eponse.

3. Avecdeux escaliers identiques on peut construire un ”mur” (Figure 4). Apartirdel’observationdecetteconstruction,d´eduirelaformulequidonnelenombredecubes n´ecessairesa`lare´alisationd’unescalierdehauteurh. 4. Calculerla hauteur de l’escalier le plus haut que l’on peut construire avec 3523 cubes. Combiendecubesserontinutilise´s?Justiﬁervotrere´ponse. Exercice 3 Laﬁgure5estunrectanglede´coupe´encinqcarr´esA,B,C,DetE. 1. Onappellea,b,c,detetiecsprecˆessdvelselsrueugnoprims.Exerdscetoe´rre´seaca,b, deteen fonction dec.

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