Universite de Nice SV1 annee Departement de Mathematiques Mathematiques Appliquees a la Biologie semestre
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Niveau: Supérieur
Universite de Nice SV1, annee 2009-2010 Departement de Mathematiques Mathematiques Appliquees a la Biologie (semestre 1) Cours 3 : Initiation au calcul matriciel Les lec¸ons precedentes ont montre qu'il pouvait etre utile de calculer avec des matrices. Avant de voir d'autres exemples d'utilisation des matrices, arretons nous le temps d'une lec¸on pour apprendre ce calcul. 1 Qu'est-ce qu'une matrice ? Une matrice est simplement un tableau de nombres par exemple M1 = ( 2 5 4 1 0 ?9 ) ou M2 = ? ? ?2 0 0 0 1 ?1 5 0 4 ? ? . Les nombres du tableau s'appellent les coefficients de la matrice. On dit que M1 est une matrice 2?3 car elle a 2 lignes et 3 colonnes et que M2 est une matrice 3? 3, donc une matrice carree. Plus generalement on dit que M est de dimension m? n lorsqu'elle a m lignes et n colonnes et on distingue ses coefficients a l'aide de deux indices M = (mij)1≤i≤m,1≤j≤n. Lorsque m = 1 (ou n = 1), la matrice est une matrice ligne (ou une matrice colonne), ou, plus simplement, un vecteur. Une matrice ayant tous ses coefficients nuls sauf ceux qui sont situes sur la diagonale, comme par exemple M3 = ? ? ?2 0 0 0 1 0 0 0 4 ? ? , s'appelle une matrice diagonale (elle verifie donc mij = 0 pour tout i 6= j).
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Universite de Nice SV1, annee 2009-2010 Departement de Mathematiques Mathematiques Appliquees a la Biologie (semestre 1) Cours 3 : Initiation au calcul matriciel Les lec¸ons precedentes ont montre qu'il pouvait etre utile de calculer avec des matrices. Avant de voir d'autres exemples d'utilisation des matrices, arretons nous le temps d'une lec¸on pour apprendre ce calcul. 1 Qu'est-ce qu'une matrice ? Une matrice est simplement un tableau de nombres par exemple M1 = ( 2 5 4 1 0 ?9 ) ou M2 = ? ? ?2 0 0 0 1 ?1 5 0 4 ? ? . Les nombres du tableau s'appellent les coefficients de la matrice. On dit que M1 est une matrice 2?3 car elle a 2 lignes et 3 colonnes et que M2 est une matrice 3? 3, donc une matrice carree. Plus generalement on dit que M est de dimension m? n lorsqu'elle a m lignes et n colonnes et on distingue ses coefficients a l'aide de deux indices M = (mij)1≤i≤m,1≤j≤n. Lorsque m = 1 (ou n = 1), la matrice est une matrice ligne (ou une matrice colonne), ou, plus simplement, un vecteur. Une matrice ayant tous ses coefficients nuls sauf ceux qui sont situes sur la diagonale, comme par exemple M3 = ? ? ?2 0 0 0 1 0 0 0 4 ? ? , s'appelle une matrice diagonale (elle verifie donc mij = 0 pour tout i 6= j).
- distribution stationnaire
- multiplication des matrices
- vecteur ligne
- somme des coefficients
- matrice tranposee du produit mn
- meme pour la multiplication des matrices
- departement de mathematiques mathematiques
Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
SV1,ann´ee2009-2010 Math´ematiquesApplique´esa`laBiologie(semestre1)
Cours 3 : Initiation au calcul matriciel
Lesle¸conspr´ece´dentesontmontr´equ’ilpouvaiteˆtreutiledecalculeravecdesmatrices.Avantdevoir d’autresexemplesd’utilisationdesmatrices,arr´etonsnousletempsd’unele¸conpourapprendrececalcul.
1 Qu’est-cequ’une matrice? Une matrice est simplement untableau de nombrespar exemple −2 00 2 54 M1= ouM21= 0−1. 1 0−9 5 0 4 Les nombres du tableau s’appellent lescoefficientsde la matrice. On dit queM1est une matrice 2×3 car elle a 2 lignes et 3 colonnes et queM2est une matrice 3×3, donc uneematricecarr´entme.lPsu´gnee´arel on dit queMest dedimensionm×nlorsqu’elle amlignes etncolonnes et on distingue ses coefficients `al’aidededeuxindicesM= (mij)1≤i≤m,1≤j≤n. Lorsquem= 1 (oun= 1), la matrice est unematrice ligne(ou unematrice colonne), ou, plus simplement, unvecteur. Unematriceayanttoussescoefficientsnulssaufceuxquisontsitue´ssurladiagonale,commepar exemple −2 0 0 M31 0= 0, 0 04 s’appelle unematrice diagonaleconre´vdefii(ellemij= 0 pour touti6=j). Enfin lartnaspos´eed’une 0 matriceMest la matriceMdont les colonnes sont les lignes deM; par exemple 2 1 0 M= 50. 1 4−9
2Op´erationssurlesmatrices Onde´finitl’additionrtamsedciseocmmoelnfeiatpourunvecteur:pdruomxueirtadsecˆeemme dimension,onadditionnelescoefficientsdemˆemeindicecommeparexemple 2 54 10−5 22 3 + = 1 0−1 11 19 0−8 Demeˆmepourlamultiplicationdes matricespar un nombre, on multiplie simplement chaque coefficient de la matrice par ce nombre : 1 2−1 1−0,5 = 2 40 20 Pourd´efinirlamultiplication des matricesrlniefid´itduroepmocno,serapecnementreellxueded vecteurs, un vecteur ligneLet un vecteur colonneCs,ntiefficoeecedbrtnate´emmocnemoˆmmetnelaay leproduit scalairede ces vecteurs : 0 L1 5= 2C=−1LC= 2×0 + 1×(−1) + 5×1 = 4. 1 Plusge´n´eralement,pourcalculerunproduittelqueM1M3on effectue 6 produits scalaires des lignes de L1 M1les colonnes de= parM2=C1C2C3e:ntvauidnsacfoeal¸ L2 −02 0 2 54L1C1L1C2L1C316 5 11 M1M3= 01−1 ==. 1 0−9L2C1L2C2L2C3−47 0−36 5 0 4
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