UNIVERSITE de NICE SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P ESD
9
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Français
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2010
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD Examen de Mathematiques Appliquees 2010–2011 Examen du Mardi 7 Decembre 2010 Duree : 2h Les documents, calculatrices,... ne sont pas autorises. Sujet A : Exercice 1 : Ordonnancement La construction d'une maison demande la realisation des taches representees dans ce tableau : Code Tache Duree Taches anterieures (en semaine) A Travaux de mac¸onnerie 7 B Charpenterie de la toiture 3 A C Toiture 1 B D Installation sanitaire et electrique 8 A E Fac¸ade 2 D,C F Fenetres 1 D,C G Amenagement du jardin 1 D,C H Travaux de plafonnage 3 F I Mise en peinture 2 H J Emmenagement 1 E,G,I 1.1. Reecrire ce tableau sous la forme d'un graphe pondere, en completant le graphe suivant : Début FinA B C D E F G H I J0 0 0 7 7 3 3 1 1 1 1 1 1 8 8 8 2 27 7 10 15 1515 15 16 19 21 222221 20 19 1916 7 1411 0 1.2. Trouver les dates au plus tot de chaque tache, en completant le graphe. 1
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UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD Examen de Mathematiques Appliquees 2010–2011 Examen du Mardi 7 Decembre 2010 Duree : 2h Les documents, calculatrices,... ne sont pas autorises. Sujet A : Exercice 1 : Ordonnancement La construction d'une maison demande la realisation des taches representees dans ce tableau : Code Tache Duree Taches anterieures (en semaine) A Travaux de mac¸onnerie 7 B Charpenterie de la toiture 3 A C Toiture 1 B D Installation sanitaire et electrique 8 A E Fac¸ade 2 D,C F Fenetres 1 D,C G Amenagement du jardin 1 D,C H Travaux de plafonnage 3 F I Mise en peinture 2 H J Emmenagement 1 E,G,I 1.1. Reecrire ce tableau sous la forme d'un graphe pondere, en completant le graphe suivant : Début FinA B C D E F G H I J0 0 0 7 7 3 3 1 1 1 1 1 1 8 8 8 2 27 7 10 15 1515 15 16 19 21 222221 20 19 1916 7 1411 0 1.2. Trouver les dates au plus tot de chaque tache, en completant le graphe. 1
- rayon spectral de la methode de gauss-seidel
- retard sur la duree du projet
- matrice tridiagonale
- methodes de jacobi et de gauss-seidel convergent
- determinant de la matrice
- tache critique
´ UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD
ExamendeMath´ematiquesAppliqu´ees2010–2011
ExamenduMardi7De´cembre2010
Dure´e:2h Lesdocuments,calculatrices,...nesontpasautoris´es.
Sujet A :
Exercice 1 : Ordonnancement Laconstructiond’unemaisondemandelar´ealisationdestaˆchesrepr´esente´esdans CodeTaˆcheDure´eTaˆchesante´rieures (en semaine) ATravauxdema¸connerie7 B Charpenterie de la toiture 3 A C Toiture 1 B DInstallationsanitaireet´electrique8A ce tableau : EFa¸cade2D,C FFeneˆtres1D,C GAme´nagementdujardin1D,C H Travaux de plafonnage 3 F I Mise en peinture 2 H JEmme´nagement1E,G,I 1.1.Re´e´crirecetableausouslaformed’ungrapheponde´r´e,encompl´etantle graphe suivant :
1.2.Trouverlesdatesauplustoˆtdechaquetaˆche,encomple´tantlegraphe.
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1.3.Donnerladure´etotaleminimaleduprojet. Ladur´eeminimaleduprojetestde22semaines. 1.4.Trouverlesdatesauplustarddechaquetˆache,encompl´etantlegraphe. 1.5.Trouverlestˆachescritiques. LestaˆchescritiquessontlestˆachesA,D,F,H,IetJ. 1.6.Ladure´edelataˆcheDtee´e´avule´.eaLdur´eer´eelleestafneedti´lama12. Cetteerreuraura-t-elledesconse´quencessurladur´eedelare´alisationtotaledu projet?Sioui,donnerlanouvelledure´etotaleminimaleduprojet. LatˆacheDestunetaˆchecritique,unchangementdanssadur´eeentraˆınedoncunretardsur ladure´eduprojet.Ici,onabesoinde4=12−latotee´eementaires,ladur8esamniseuspp´l minimale du projet sera donc de 22 + 4 = 26 semaines.
Exercice 2 : Graphes Onjoueavecunjeudel’oiequicomporte8casesnum´erote´esde1a`8.Led´ea pourvaleurs1et3etlede´partsefaitsurlacase1;lorsqu’onarriveen8,ona gagn´eetonarrˆetedejouer,c’est-a`-direquel’onresteen8(ouquel’onvade8 en 8...). 2.1.Faireungrapheo`ulessommetssontlescasesdujeuetlesrelierparunarc sionpeutpasserd’unecase`al’autre.
2.2.Donnerlalistedessuccesseursetlalistedespr´ed´ecesseursdechaquesommet. Quelssontlesdegre´sentrantsetlesdegr´essortants?Compl´eterletableauci-dessous. SommetG+G−d+d− 1 2,4∅2 0 2 3,5 1 2 1 3 4,6 2 2 1 4 5,7 1,3 2 2 5 6,8 2,4 2 2 6 7,8 3,5 2 2 7 8 4,6 1 2 8 8 5,6,7,8 1 4
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2.3.Compl´eterlamatriced’adjacenceMsuivante de ce graphe. 1 1 1 1 1 1 1 1 M=. 1 1 1 1 1 1 2.4. Ce graphe admet-il une boucle ? Si oui, en quel sommet ? Admet-il un circuit ? Pourquoi ? Oui,iladmetuneboucleausommet8,dapre`slesr`eglesdujeu.Iln’admetpasdecircuitcar danslesr`eglesdecejeudel’oie,onnepeutpasrevenirenarrie`re. 2.5.Faireunparcoursenlargeurdugraphe.Ende´duirelepluscourtcheminde 1a`8,c’est-a`-direladure´edelapartielapluscourte(ennombredelancersde de´s). Un parcours en largeur possible est le suivant : SommetNum´eroPre´d´ecesseurRang 1 1∅0 2 2 1 1 3 4 2 2 4 3 1 1 5 5 2 2 6 7 3 3 7 6 4 2 8 8 5 3 Ladur´eedelapartielapluscourteestlerangde8,c’est-a`-dire3. 3 2.6. On donne la matriceM: 0 0 0 1 0 3 0 3 0 0 0 0 1 0 3 3 0 0 0 0 0 1 0 4 30 0 0 0 0 0 1 3 M=. 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Quenousdonnelapremi`erelignedecettematrice? Lapremi`erelignenousdonnelalistedescasesatteintesentroislancersdede´:lescases4,6 et 8. 2.7.Donnerlalistedessommetsaccessiblesen2lancersdede´. Apre`sunlancerded´e,nousarrivonsen2ou4,apre`s2lancersonarriveen3,5ou7. 2.8.Donnerlalistedescheminspourallerde1`a7en4lancersded´e. Pour avancer de 6 cases en 4 lancers, sachant qu’on ne peut faire que des 1 ou des 3, on a 4 possibilite´s:6=3+1+1+1=1+3+1+1=1+1+3+1=1+1+1+3,cequisetraduit par les chemins suivants :
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– 1-4-5-6-7 – 1-2-5-6-7 – 1-2-3-6-7 – 1-2-3-4-7
Exercice3:Re´solutiondesyste`mesline´aires a b0 √ √ Onadmetqueled´eterminantdelamatriceb a bvauta(a−b2)(a+b2). 0b a √ On rappelle que1.4<2<1.5. 3−2 0−5 2 1 Onconside`relesmatricessuivantes:A=−2 3−2etB= 1 3 1. 0−2 3−1 0 2 3.1.Est-cequelesm´ethodesdeJacobietdeGauss-Seidelconvergentpourla matriceBvtnemesupe´rerto.seonstifi?Juigneerso La matriceBonaledomst`adiag5r=nienaetac| −5|>et 3+ 1 3 = 2 >2 = 1 et+ 1 2>1 = 0 +| −1|onlcdeei-SssaueGO.dnen.tnegrevm´etelesitqu´edueidtcabodsJeohed 3.2.Est-cequelesme´thodesdeJacobietdeGauss-Seidelconvergentpourla matriceA.noestvenemusepr´reotfiitsuJ?engiosre La matriceAmoeonpolynˆropres,selavpsruluclsesee.qucaOnm´syrietidiasttrleetgonae √ √ caract´eristiqueest´egala`P(λ) = (3−λ)(3−λ−2 2)(3−λ+ 2 2) et donc ses valeurs √ √ propressonte´galesa`3,3−2 2,2, elles sont donc toutes strictement positives. Donc3 + 2 AsdeJhodem´etcleseitcaboseutenamtricetridiagonalys,ete´muqire´deiefinsipovetion,d de Gauss-Seidel convergent. 3.3. Dans le cas de la matriceA,calculsneptcarreelaroyodtheedelld´eam Jacobi. 0 2/3 0 Lamatricedelame´thodedeJacobis’e´critJ= 2/3 0 2/On calcule ses valeurs3 . 0 2/3 0 √ √ 2 2 2 2 propres,sonpolynˆomecaracte´ristiqueest´egal`aP(λ) =−λ(−λ−)(−λ+ ) et 3 3 √ √ 2 2 2 2 doncsesvaleurspropressont´egalesa`0,−,a`lanodtge´ctrecesalaynrspon.oS 3 3 √ 2 2 ρ(J) =<1. 3 3.4. Dans le cas de la matriceAdohtedereelaroy,acclluldelam´enspectra Gauss-Seidel. −1 3 0 0 0 2 0 Lamatricedelame´thodedeGauss-Seidels’´ecritGS=−=0 0 2 2 3 0 0−2 3 0 0 0 0 2/3 0 8 2 0 4/9 2/ˆoyncamectrari´eqitsseeuge´ta`la3,ospnloλ−λelle admet donc 9 0 8/27 4/9 8 8 comme valeurs propres 0,0,.Ssnoyarnoelartcep`lagaodtse´cnρ(GS) =<1. 9 9 3.5.Commenterlesr´esultatsdesdeuxquestionspre´ce´dentes. Commepre´vua`laquestion3.2.,ontrouvequelesdeuxrayonsspectrauxsontstrictement
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