UNIVERSITE de NICE SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P ESD
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD Examen de Mathematiques Appliquees 2010–2011 Controle Continu du Mardi 9 Novembre 2010 Duree : 1h30 Les documents, calculatrices,... ne sont pas autorises. Sujet A : Exercice 1 : Resolution de systemes lineaires 1.1. Calculer la decomposition de Choleski de la matrice C = ? ? 1 2 0 2 8 6 0 6 13 ? ? et l'utiliser pour resoudre le systeme Cx = b avec b = ? ? 0 4 6 ? ?. C est bien une matrice symetrique. On cherche une matrice L triangulaire inferieure telle que A = LLT sous la forme L = ? ? L1,1 0 0 L2,1 L2,2 0 L3,1 L3,2 L3,3 ? ? . En faisant le produit et en identifiant, on obtient les relations suivantes pour la premiere colonne : L21,1 = 1, soit L1,1 = 1, L1,1L2,1 = 2, soit L2,1 = 2, L1,1L3,1 = 0, soit L3,1 = 0, pour la deuxieme colonne L22,1 + L 2 2,2 = 8, soit L2,2 = 2, L2,1L3,1 + L2,2L3,2 = 6, soit L3,2 = 3.
Voir
UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD Examen de Mathematiques Appliquees 2010–2011 Controle Continu du Mardi 9 Novembre 2010 Duree : 1h30 Les documents, calculatrices,... ne sont pas autorises. Sujet A : Exercice 1 : Resolution de systemes lineaires 1.1. Calculer la decomposition de Choleski de la matrice C = ? ? 1 2 0 2 8 6 0 6 13 ? ? et l'utiliser pour resoudre le systeme Cx = b avec b = ? ? 0 4 6 ? ?. C est bien une matrice symetrique. On cherche une matrice L triangulaire inferieure telle que A = LLT sous la forme L = ? ? L1,1 0 0 L2,1 L2,2 0 L3,1 L3,2 L3,3 ? ? . En faisant le produit et en identifiant, on obtient les relations suivantes pour la premiere colonne : L21,1 = 1, soit L1,1 = 1, L1,1L2,1 = 2, soit L2,1 = 2, L1,1L3,1 = 0, soit L3,1 = 0, pour la deuxieme colonne L22,1 + L 2 2,2 = 8, soit L2,2 = 2, L2,1L3,1 + L2,2L3,2 = 6, soit L3,2 = 3.
- methode de newton
- vitesse de convergence de la methode de la puissance
- matrice symetrique
- resolution de ly
- decomposition de choleski de la matrice definie
- point fixe de ?2 verifie
´ UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD
ExamendeMath´ematiquesAppliqu´ees2010–2011
ContrˆoleContinuduMardi9Novembre2010
Dur´ee:1h30 Lesdocuments,calculatrices,...nesontpasautorise´s.
Sujet A :
Exercice1:R´esolutiondesyste`mesline´aires 1 2 0 1.1.Calculerlad´ecompositiondeCholeskidelamatriceC= 2 8 6et 0 6 13 0 l’utiliserpourr´esoudrelesyste`meCx=bavecb= 4. 6 CeicneeutrmahcnOhcreirte.euqmetanenuys´mirecstbieLqueiatruretelleni´freeignluiaer T A=LLsous la forme L1,10 0 L=L2,1L2,20. L3,1L3,2L3,3 Enfaisantleproduitetenidentifiant,onobtientlesrelationssuivantespourlapremi`ere colonne :
pourladeuxi`emecolonne
etpourlatroisi`eme:
Onend´eduitque
2 L= 1,soitL1,1= 1, 1,1 L1,1L2,1= 2,soitL2,1= 2, L1,1L3,1= 0,soitL3,1= 0,
2 2 L+L , 2,1 2,2= 8,soitL2,2= 2 L2,1L3,1+L2,2L3,2= 6,soitL3,2= 3.
2 2 2 L+L+L= 13,soitL3,3= 2. 3,1 3,2 3,3
1 L= 2 0
1
0 2 3
0 0. 2
