Universite de Nice Sophia Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 4 EXERCICE 1 Formule des trapezes a. Dans la formule suivante ∫ a+h a f(x) dx ≈ ?f(a) + ?f(a + h) , (1.1) determiner ? et ? pour que la formule soit exacte pour des polynomes de degre ≤ 1. Calcul de ? et ? On a ∫ a+h a 1 dx = h = ? + ? , ∫ a+h a x dx = h2 2 + ah = ?a + ?(a + h) . Ce qui conduit au systeme lineaire suivant ? ? ? ? + ? = h a? + (a + h)? = h2 2 + ah D'ou on tire ? = ? = h 2 , (1.2) qui rendent exacte la formule (1.1) pour les polynomes de degre ≤ 1. Remarque On a ∫ a+h a x2 dx = (a + h)3 3 ? a3 3 = 1 3 ( h3 + 3ah2 + 3a2h ) 6= h 2 ( (a + h)2 + a2 ) , pour h 6= 0, qui montre que la formule de quadrature (1.1) est d'ordre 1.

calcul de ?

polynome d'interpolation de hermite de degre

polynomes de degre ≤

tolerance ? donnee

formule de quadrature

formule des trapezes

estimation de l'erreur d'integration

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Universit´edeNiceSophia-Antipolis LicenceL3Math´ematiques

Anne´e2008/2009

AnalyseNume´rique Corrige´duTD4

EXERCICE 1 Formuledestrape`zes

a. Dans la formule suivante Z a+h f(x)dx≈αf(a) +βf(a+h),(1.1) a de´terminerαetβeualuoqrpxactoiteulesformmoˆnylopsedruopedees degr´e≤1.

Calcul deαetβ On a Z a+h 1dx=h=α+β , a Z a+h2 h x dx= +ah=αa+β(a+h). 2 a Cequiconduitausyst`emelin´eairesuivant  α+β=h 2 h  a α+ (a+h)β= +ah 2 D’ou`ontire h α=β=, 2 quirendentexactelaformule(1.1)pourlespolynˆomesdedegre´≤1.

(1.2)

RemarqueOn a Z a+h3 3   (a+h)a1h 2 3 2 2 2 2 x dx=−=h+ 3ah+ 3a h6= (a+h) +a ,pourh6= 0, 3 3 3 2 a qui montre que la formule de quadrature (1.1) est d’ordre 1.

b. Soitq∈ P1dede´egr(ensemlbdeseopylˆnmose≤1rapi)dﬁn´eq(a) =f(a) etq(a+h) =f(a+h). Construireq. En approchantfparqsur[a, a+h], donner R a+h une approximation def(x)dx. a

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