Universite de Nice Sophia Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 8 EXERCICE 1 Convergence de methodes iteratives lineaires 1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit A une matrice carree d'ordre n > 0, A = (aij)i,j=1,...,n. Pour 1 ≤ p ≤ +∞, on note par ? ?p la norme matricielle calculee a partir de la norme vectorielle ? ?p i.e. ?A?p = sup ?x?p=1 ?Ax?p = sup ?x?p≤1 ?Ax?p = sup x 6=0 ?Ax?p ?x?p . a. Montrer que son rayon spectral ?(A) verifie ?(A) ≤ ?A?p , ? 1 ≤ p ≤ +∞ . Pour le corps K = C ou R, on note Mn(K) l'ensemble des matrices carrees d'ordre n > 0 a valeurs dans K. Pour montrer que ?(A) ≤ ?A?p, on separe le cas A ? Mn(C) qui est evident, du cas A ? Mn(R) qui est plus subtil. • Cas A ? Mn(C) Comme A ? Mn(C) est diagonalisable, il existe un vecteur propre x0 ? Cn associe a la plus grande valeur propre en module |?| = ?(A) : Ax0 = ?(A)x0.

?i tij

?a?p

?m0 ?

matrice nulle

utilisee pour evaluer ?a?p

quantite ?x0?p

?a? ≤

quelconque norme

norme matricielle

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Licence Matrice nulle

Universit´edeNiecoShpaiA-tnpiloLiisncce3MeLh´attameeuqinnAs2ee´2009008/yseNAnaliruqmue´ir´gCeroEXD8uTed1CCECIERnegrevnote´medecretaviseohedis´teslin´eair

1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles , A = ( a ij ) ij =1 n . Soit A unematricecarre´ed’ordre n > 0 Pour 1 ≤ p ≤ + ∞ , on note par k k p lanormematriciellecalcul´eea`partirdela norme vectorielle k k p i.e. k A k p = sup k Ax k p = sup k Ax k p = s 6 u = p 0 kk Axx kk p  k x k p =1 k x k p ≤ 1 x p a. Montrer que son rayon spectral ρ ( A ) ve´riﬁe ρ ( A ) ≤ k A k p  ∀ 1 ≤ p ≤ + ∞ 

Pour le corps K = C ou R , on note M n ( K )l’ensembledesmatricescarr´eesd’ordre n > 0 `avaleursdans K . Pour montrer que ρ ( A ) ≤ k A k p ,onse´parelecas A ∈ M n ( C )quiest´evident,ducas A ∈ M n ( R ) qui est plus subtil. • Cas A ∈ M n ( C ) Comme A ∈ M n ( C ) est diagonalisable, il existe un vecteur propre x 0 ∈ C n associe´`ala plus grande valeur propre en module | λ | = ρ ( A ) : Ax 0 = ρ ( A ) x 0 .Onend´eduit ρ ( A ) k x 0 k p = k λx 0 k p = k Ax 0 k p ≤ k A k p k x 0 k p  d’ ` ou ρ ( A ) ≤ k A k p  (1.1) puisque x 0 6 = 0. • Cas A ∈ M n ( R ) Leproble`meestquelamatrice A n’a pas forcement ses valeurs propres dans R et donc ´ sesvecteurspropressontentoutege´n´eralit´edans C n . Comme pour A ∈ M n ( R ), la norme ´ matricielle k k p utilis´eepourevaluer k A k p estcalcul´ee`apartirdelanormevectorielle k k p i.e. du type k x k p pour x ∈ R n . De ce fait comme x 0 ,vecteurpropreassoci´e`alaplus grande valeur propre en module | λ | = ρ ( A ),peutˆetredans C n ,laquantit´e k x 0 k p peut ne pasavoirdesens.Pourcontournercettediﬃculte´,onpeutproce´dercommesuit. 1

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