Universite de Nice Sophia Antipolis Laboratoire J A Dieudonne

´Universite de Nice - Sophia Antipolis
´Laboratoire J.-A. Dieudonne
´ ´Ecole doctorale Sciences Fondamentales et Appliquees
´ ´ ´Specialite Mathematiques
Quelques r´esultats en Analyse
Semiclassique
`Habilitation a diriger des recherches
pr´esent´ee et soutenue `a l’Universit´e de Nice par
Laurent MICHEL
le 19 Novembre 2010 devant le jury compos´e de
Bernard Helffer Universit´e Paris-Sud 11
Gilles Lebeau Universit´e de Nice
Francis Nier Universit´e de Rennes 1
Vesselin Petkov Universit´e Bordeaux 1
Fabrice Planchon Universit´e de Nice
Johannes Sj¨ostrand CNRS et Universit´e de Bourgogne
apr`es avis des rapporteurs
Bernard Helffer Universit´e Paris-Sud 11
Johannes Sj¨ostrand CNRS et Universit´e de Bourgogne
Maciej Zworski University of California Berkeley´Universite de Nice - Sophia Antipolis
´Laboratoire J.-A. Dieudonne
´ ´Ecole doctorale Sciences Fondamentales et Appliquees
´ ´ ´Specialite Mathematiques
Quelques r´esultats en Analyse
Semiclassique
`Habilitation a diriger des recherches
pr´esent´ee et soutenue `a l’Universit´e de Nice par
Laurent MICHEL
le 19 Novembre 2010 devant le jury compos´e de
Bernard Helffer Universit´e Paris-Sud 11
Gilles Lebeau Universit´e de Nice
Francis Nier Universit´e de Rennes 1
Vesselin Petkov Universit´e Bordeaux 1
Fabrice Planchon Universit´e de Nice
Johannes Sj¨ostrand CNRS et Universit´e de Bourgogne
apr`es avis des rapporteurs
Bernard Helffer Universit´e Paris-Sud 11
Johannes Sj¨ostrand CNRS et Universit´e de Bourgogne
Maciej Zworski University of California BerkeleyRemerciements
Mes premiers remerciements vont `a Bernard Helffer, Johannes Sj¨ostrand et Maciej Zworski
qui m’ont fait l’honneur d’ˆetre rapporteursde ce m´emoire. Par leurs remarques ils m’ont permis
d’am´eliorer sensiblement sa r´edaction. Gilles Lebeau, Francis Nier, Vesselin Petkov et Fabrice
Planchon ont accept´e de participer au jury de ma soutenance, je les en remercie.
Je tiens aussi `a remercier mes collaborateurs : Jean-Fran¸cois Bony qui m’a beaucoup appris
sur la th´eorie des r´esonances, Colin Guillarmou et Hans Christianson pour leur vision tr`es
g´eom´etrique, Persi Diaconis qui m’a initi´e a` l’analyse de l’op´erateur de Metropolis et bien sur
Gilles Lebeau avec qui j’ai pris beaucoup de plaisir `a travailler.
Je n’oublie pas mes coll`egues du Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonn´e dont la compagnie
rend ce lieu si agr´eable et propice au travail.
J’ai pu b´en´eficier a` plusieurs reprises de d´el´egations CNRS, je remercie la direction du La-
boratoire et le CNRS de m’avoir soutenu.
Mes dernier remerciements vont a` ma famille : mes parents et ma compagne qui m’ont
toujours soutenu, mes enfants qui ont si bien su me changer les id´ees.Table des mati`eres
I Introduction 7
II Sur l’´equation de Schr¨odinger 13
1 Autour de l’amplitude de diffusion en r´egime semiclassique 15
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Estimations microlocales des ´etats r´esonnants et applications . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Estimations microlocales des ´etats r´esonnants . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Application a` l’´etude des r´esidus de l’amplitude de diffusion . . . . . . . . 24
1.2.3 Estimation des projecteurs spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Equation de Schrodin¨ ger avec champ magn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Principe d’absorption limite et repr´esentation de la matrice de diffusion . 29
1.3.2 Asymptotiques lorsque le champ magn´etique domine le potentiel ´electrique 31
1.3.3 Asymptotiqueslorsquelechampmagn´etiqueetlepotentiel´electriquesont
de mˆeme ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Sur l’´equation de Schrodi¨ nger non-lin´eaire avec champ magn´etique 47
2.1 Sur le probl`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Esquisse de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1 Quelques Lemmes pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Preuve du Th´eor`eme 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.3 Preuve du Th´eor`eme 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Approximation WKB dans la limite b→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III Sur les op´erateurs de marche al´eatoire 59
3 G´en´eralit´es sur les noyaux de Markov et l’algorithme de Metropolis 63
3.1 Chaˆınes de Markov sur un espace fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Algorithme de Metropolis sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 G´en´eralit´es sur les noyaux de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Op´erateurs de marche al´eatoire et de Metropolis dans le cas continu . . . . . . . 66
4 Cas d’un espace d’´etat born´e 73
4.1 Marche al´eatoire sur une vari´et´e compacte sans bord . . . . . . . . . . . . . . . . 73
´4.1.1 Etude de l’op´erateur de marche al´eatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
´4.1.2 Etude de l’op´ de Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.3 Esquisses de preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
54.1.4 Convergence vers le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Algorithme de Metropolis sur un ouvert born´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 Trou spectral pour une densit´e peu r´eguli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.2 Estimations de variation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
´4.2.3 Etude pr´ecis´ee du spectre dans le cas r´egulier . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.4 Le probl`eme historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Op´erateurs de marche al´eatoire sur un domaine non born´e 101
5.1 Cas d’un espace plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
´5.1.1 Enonc´e des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.2 Esquisses de preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2 Cas d’une vari´et´e pr´esentant des pointes hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.1 Etude de l’op´erateur dans une pointe hyperbolique . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.2 Etude du spectre essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.3 Preuve du trou spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6Premi`ere partie
Introduction
7