Universite de Nice Sophia Antipolis L3 Mass Calcul differentiel

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thieg

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis 2010 - 2011 L3 Mass. Calcul differentiel Feuille TD 3 : Corrige partiel 1. Question de cours. A. Une fonction f , de R3 dans R, est dite differentiable en un point M0 := (x0, y0, z0) s'il existe une (unique) application lineaire l = DfM0 , de R3 dans R, telle qu'on puisse ecrire au voisinage de ce point le developpement limite de f a l'ordre 1 suivant : f(x, y, z) := f(M) = f(M0) + DfM0 (M ?M0) + ||M ?M0|| ?(M), ou M ?M0 = (x? x0, y ? y0, z ? z0) est l'accroissement de (x, y, z) et ou ?(M) ? 0 quand M ? M0. Dans le cas ou f est a valeurs dans R, on peut representer cette application lineaire l = Df(M0) par l'application : V := (u, v, w) ?< ?f(M0), V >:= ∂xfM0 u + ∂yfM0 u + ∂zfM0 w . On ecrit en abrege: l = DfM0 = ?f(M0) : on assimile donc l'application lineaire l et le vecteur ?f(M0).

expression des derivees ∂?f

universite de nice - sophia-antipolis

?pi cos

matrice hessienne

∂f ∂y

derivees partielles

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Matrice hessienne

Universit´edeNiceSophia-Antipolis2010-2011 L3Mass.Calculdiﬀ´erentiel FeuilleTD3:Corrig´epartiel

1. Questionde cours. 3 A.Une fonctionf, deRdansRe,tsidetopnutnitiableendiﬀ´eren M0:= (x0, y0, z0lpci)epainuqenu(re´eainlinatioxileeust’i)sl=DfM0, 3 deRdansRcedeiopeeltnriecaureisvoagint,e´ssuinp’oquleel de´veloppementlimite´defa`’lrord1eust:aniv

f(x, y, z) :=f(M) =f(M0) +DfM0(M−M0) +||M−M0||θ(M), ou`M−M0= (x−x0, y−y0, z−z0) est l’accroissement de (x, y, z) et o`uθ(M)→0 quandM→M0.

Danslecasou`flava`tsensdarseuRutpeon,eectttnree´eserrp applicationlin´eairel=Df(M0) par l’application : V:= (u, v, w)→<rf(M0)>, V:=∂xfM0u+∂yfM0u+∂zfM0w . On´ecritenabr´ege´:l=Df=rf(M) :on assimile donc l’application M00 lin´eairelet le vecteurrf(M0on suppose que). Sifeesv´ri´esddeetdma partielles∂fx,∂fyet∂fzau point (x0, y0, z0o,)pennedd´reuitpeuenas qu’elleestdiﬀe´rentiableencepoint,voircontre-exempledonne´dans les Notes de Cours, p6, cf aussi TD2.

2 2 B.Le lemme de Schwarz dit qu’une fonctionfde classeCdeRdans Res.egaltes´msxinoedssce´veeri´exdeusdsea 2.Pr´adient,ble,legrseptsoisti,eis’cernnsuen´eitdoetge´rralusicealre lamatriceHessienneetlede´veloppementlimit´e`al’ordre2a`l’origine des fonctions suivantes 2 f(x, y) = arctan(x+y), g(x, y) = ln(1 +xy). ∞2 2 a.La fonctionftets´dﬁeineeCsurR(. Pourx, y)∈R, on peut donccalculersesd´eriv´eespartiellespremi`eresetsecondes 2 2 ∂f1∂f2y ∂f−2∙(x+y) =,=,= 2 22 22 22 2 ∂x1 + (x+y)∂y1 + (x+y)∂x(1 + (x+y) ) 2 24 22 22 ∂ f2∙(1 +x−3y−2xy)∂ f∂ f−4y∙(x+y) =,= =. 2 22 22 2 2 ∂y(1 + (x+y) )∂x∂y ∂y∂x(1 + (x+y) ) 2 2 Le gradient et le DL2 en (0,0) existent (carf∈C(Rgradient)). Le etlamatriceHessienne`al’originesontrespectivementdonne´spar   0 0 rf(0,0) = (1,0) etH(f)(0,0) =, 0 2 d’o`uleDL2def`al’ni:erogi 2 2 f(x, y) =x+y+||(x, y)||θ(x, y) aveclimθ(x, y) = 0 (x,y)→(0,0) 1

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