Universite de Nice Sophia Antipolis L3 Complements d'Analyse Semestre
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2011
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice - Sophia Antipolis L3 - Complements d'Analyse Semestre 6 - 2011 La formule de Taylor avec reste integral & ses applications. I- La formule de Taylor avec reste integral. Ex 1. Si f : [a, b] ? R ou C est de classe Cn+1, n ? N, demontrer la formule de Taylor a l'ordre n: f(b) = f(a) + (b? a)f ?(a) + ...+ (b? a) n n! f (n)(a) + ∫ b a (b? t)n n! f (n+1)(t) dt = n ∑ k=0 (b? a)k k! f (k)(a) + ∫ b a (b ? t)n n! f (n+1)(t) dt. On procedera par recurrence et on utilisera l'integration par parties (suggestion : detailler le cas n = 1). Ex 2. Developpements limites et inegalites. 1) Justifier que pour x ≥ 0, on a l'encadrement x? x 2 2 ≤ ln(1 + x) ≤ x? x2 2 + x3 3 . Faire un dessin de x 7? ln(1 + x) et des deux polynomes sur un meme graphique : commentaires ? 2) Proposer un encadrement de la fonction sin sur R.
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Universite de Nice - Sophia Antipolis L3 - Complements d'Analyse Semestre 6 - 2011 La formule de Taylor avec reste integral & ses applications. I- La formule de Taylor avec reste integral. Ex 1. Si f : [a, b] ? R ou C est de classe Cn+1, n ? N, demontrer la formule de Taylor a l'ordre n: f(b) = f(a) + (b? a)f ?(a) + ...+ (b? a) n n! f (n)(a) + ∫ b a (b? t)n n! f (n+1)(t) dt = n ∑ k=0 (b? a)k k! f (k)(a) + ∫ b a (b ? t)n n! f (n+1)(t) dt. On procedera par recurrence et on utilisera l'integration par parties (suggestion : detailler le cas n = 1). Ex 2. Developpements limites et inegalites. 1) Justifier que pour x ≥ 0, on a l'encadrement x? x 2 2 ≤ ln(1 + x) ≤ x? x2 2 + x3 3 . Faire un dessin de x 7? ln(1 + x) et des deux polynomes sur un meme graphique : commentaires ? 2) Proposer un encadrement de la fonction sin sur R.
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Universit´edeNiceSophiaAntipolis
L3Compl´ementsd’Analyse Semestre 6 2011
LaformuledeTayloravecresteinte´gral&sesapplications.
ILaformuledeTayloravecresteint´egral.
n+1 Ex 1.Sif: [a, b]→RouCest de classeC,n∈Nnort´dme,eTayuledformerlaerdro’la`roln: Z n bn (b−a) (b−t) ′(n) (n+1) f(b) =f(a) + (b−a)f(a) +...+f(a) +f(t)dt n!n! a nZ X k bn (b−a) (b−t) (k) (n+1) =f(a) +f(t)dt. k!n! a k=0 Onproc`ederaparr´ecurrenceetonutiliseral’inte´grationparparties(suggestion:de´taillerlecasn= 1).
Ex2.D´eveloppementslimite´setin´egalit´es. 1)Justifier que pourx≥0, on a l’encadrement 2 23 x xx x− ≤ln(1 +x)≤x−+. 2 23 Faire un dessin dex7→ln(1 +xmmcotaenesir?edsedte)uxpolynˆomessurumneˆemrgpaihuq:e 2)Proposer un encadrement de la fonction sin surR. n+1 3)Retrouver qu’une fonction de classeCau voisinage deadro’erimilde´tamdteoppementund´evelnsix→a. ∞ ∗(n) 4)Soitf∈ C(R) eta∈Rudero´enzftel qu’il existen∈N´erivfiantf(a)6= 0 (on dit queatues´enzro d’ordre fini defque). Montrerfn’a, au voisinage deap,sa’duart.ore´ze
Ex 3.Lemme de division d’Hadamard. 1 1)Soitf:R→Rune fonction de classeCl’existence de. Montrerg:R→Rcontinue telle que, pourx∈R, f(x) =f(0) +xg(x). On utilisera la plus simple des formules de Taylor pour proposer une fonctiongefinid´ennideu’a’di`elaetrenleraegt´ 0et1.Pre´ciserlavaleurdeg(0). n n−1 2)a)On suppose en outrefde classeCsurR, avecn≥2. Justifieralors quegest de classeCsurR. Montrer f(x)−f(0) alors que la fonctionx7→(x6aptnnocrnoloemegetdmprun)a=0caalss.ee´icessren0,etprtinuit´e x x b)Appliquer ceci aux fonctionsf(x) = sin(x), etf(x) =euiinedt´aelgnolnemerapttnocpeoruqlertreM.no x e−1 fonctionx7→urssveemetcirtitisoptnessesd´eriv´eessaottuR. Essayerde le prouver directement... x c)Pour les deux fonctions dub)aunesuouvezssaied(edohte´mertocnnus,sdseicL2 ?)pour voir que le prolonge f(x)−f(0) ∞ mentparcontinuit´edelafonctionx7→est de classeCsurR? x 2 3)a)Sifest de classeC, montrer l’existence deg:R→Rtelle que, pourx∈R, ′2 f(x) =f(0) +xf(0) +x g(x). n Pre´ciserlaclassedeget sa valeur enx= 0.Sifest de classeC,n≥2, quelle est la classe deg? n+1 b)Pourfde classeC,n≥elaformulouravoirilarpres´g,1e´ne n x ′(n)n+1 f(x) =f(0) +xf(0) +...+f(0) +x g(x). n! ′ ′′ 4)ionncO`drenoisnotclefaf(x)≡x−lnxsur ]0,+∞[. Dessinerf, et calculerf,fla formule de. Appliquer Taylor`afentre 1 etx1ee,etefftceulrce`al’ordrselbnghaenemevtdiaart= 1+u(x−.eertsad)1int´nsl’ledeegra Proposer alors une fonctionφ:]0,+∞[→Rtelle queφ >0 sur ]1,+∞[,φ <0 sur ]0,1[ et pourx >0, 2 f(x) =f(1) +φ(x). ′1 Pr´eciserφ(1),φeerqunort´Dme1(.)φ:]0,+∞[→Rest unC.meisphromoe´ffid 1
Ex 4.Utilisations du lemme de division d’Hadamard. 2 1)ccansdaeanLalupseelde.ditsepomhM´sid`nconOeref: [−1,+1]→Rde classeCetmrnireounsto,e´eeditha le comportement lorsquen→+∞de Z +1 2 −nx In≡f(x)edx. −1 Z 2 −t a)En posantt=x n, donner le comportement deInlorsquefssaledeGauppraOn1.=rge´tni’leuqelleedt R vautπ. 1 b)On suppose quef(x) =xg(x) avecgde classeCurpoestirqniteobrge´tnI.raprapresneceuadac,sIn=O(1/n). c)rlseemeldemevidie´gsre´nu,lailituelecaPourisnooprurpuoevqr π1 In=f(0) +O. n n 2 2)iannoitatsesahpaeledodth´eM.eimplcassnsunredaerdie`ocsnnOf: [−1,+1]→Cde classeC, et on souhaite d´eterminerlecomportementlorsquen→+∞de Z +1 2 −inx Jn≡f(x)edx. −1 Z 2 −it a)tni’rge´rertleuqelsnMonedalreeFedtvnocee´silare´nelaceurPoe.ntgeertne´nuieetsnng´iemaedeRgral, R Z +∞ sint 2 on pourra utiliser le changement de variabley=tenttirge´apreraprseitmepo(comurdtadmet). On t 0 −iπ/4 quecetteinte´gralevautπe. b)Redtneme´evelopponnerunddaere,dtdsnacsceedc´teennsio´eprqseltseuerpeerdnJn.
IIFormulesdeTayloretapproximationnume´rique.
Ex5.Analysed’erreurpourl’int´egrationnume´rique.On se donnef: [0,1]→Rcontinue, et on souhaite Z 1 mesurerl’erreurcommiselorsquel’onapprochel’inte´gralef(t)dtaplrrectedesthodam´e:ehcuaga`selgna 0 n−1 X 1k ∗ n∈N,Rn(f)≡f . n n k=0 Z 1 On rappelle queRn(f)→f(t)dtlorsquen→+∞. Onpourra faire un dessin. Z 0 x 1 1)On supposefde classeCsur [0,1], et on noteF(x)≡f(t)dtpourx∈[0,1]. 0 a)Indiquer la classe deF. b)plApueiqafrlmuoredellyaTa`roFentrek/net (k+ 1)/n, pour 0≤k≤n−´end.E1opruqeeuudrin≥1, Zn−1Z 1 (k+1)/n X k+ 1 ′ f(t)dt− Rn(f) =−t f(t)dt. n 0k/n k=0 c)Montrer alors que pour une constantec >pno’leuqresice´rnu0ueiqerm´aa,on Z 1 c ′ f(t)dt− Rn(f)≤max|f|. n[0,1] 0 1 −6 Avecf(x)≡, quel entiernrpcoehlr(n)2a`01rpceh`o?issirpourap 1 +x 2 d)On supposefde classeC. Reprendreb)uaiqlantrmfoedulnelppar2pouol`rTeyadrerlao’F.Eeduirnd´e Zn−1n−1Z 1 (k+1)/n X X2 1k1k+ 1 ′ ′′ f(t)dt− Rn(f) =f+−t f(t)dt. 2 2n n2n 0k/n k=0k=0 ′ Enidentifiantlapremie`resommeaveclam´ethodedesrectangles`agauchepourf, justifier que sin→+∞ Z 1 1 1 f(t)dt− Rn(f) =f(1)−f(0) +O. 2 2n n 0 2
