Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre
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Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 08-09 semestre 1 1 Sous-espaces vectoriels euclidiens de Rn Un plan geometrique muni d'un repere orthonorme s'identifie a R2. Cette identification permet de definir sur R2 le produit scalaire de deux vecteurs de R2 , la norme d'un vecteur de R2, la notion de vecteurs orthogonaux de R2, ... Plus generalement, nous allons munir Rn et ses sous-espaces vectoriels d'un produit scalaire et en examiner les premieres proprietes. 1.1 Definitions Definition 1.1.1 (produit scalaire de deux vecteurs de Rn) Soit u = (u1, . . . , un) et v = (v1, . . . , vn) deux vecteurs de Rn, on appelle produit scalaire de u et v, le reel note < u, v > et defini par : < u, v > = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn . Definition 1.1.2 (norme d'un vecteur de Rn) Soit u = (u1, . . . , un) un vecteur de Rn, on appelle norme de u et on note || u || le reel positif defini par : || u || = √ u21 + u 2 2 + · · ·+ u2n = √ < u, u > . Proprietes du produit scalaire et de la norme : Bilinearite : Pour tout u1, u2, v ? Rn, pour tout ? ? R : < u1 + u2, v > = < u1, v > + < u2, v >
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Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 08-09 semestre 1 1 Sous-espaces vectoriels euclidiens de Rn Un plan geometrique muni d'un repere orthonorme s'identifie a R2. Cette identification permet de definir sur R2 le produit scalaire de deux vecteurs de R2 , la norme d'un vecteur de R2, la notion de vecteurs orthogonaux de R2, ... Plus generalement, nous allons munir Rn et ses sous-espaces vectoriels d'un produit scalaire et en examiner les premieres proprietes. 1.1 Definitions Definition 1.1.1 (produit scalaire de deux vecteurs de Rn) Soit u = (u1, . . . , un) et v = (v1, . . . , vn) deux vecteurs de Rn, on appelle produit scalaire de u et v, le reel note < u, v > et defini par : < u, v > = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn . Definition 1.1.2 (norme d'un vecteur de Rn) Soit u = (u1, . . . , un) un vecteur de Rn, on appelle norme de u et on note || u || le reel positif defini par : || u || = √ u21 + u 2 2 + · · ·+ u2n = √ < u, u > . Proprietes du produit scalaire et de la norme : Bilinearite : Pour tout u1, u2, v ? Rn, pour tout ? ? R : < u1 + u2, v > = < u1, v > + < u2, v >
- produit scalaire
- appelee norme euclidienne
- universite de nice - sophia-antipolis
- propriete sur les bases echelonnees
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Universit´edeNiceSophia-Antipolis 08-09
1
Sous-espaces
n vectoriels euclidiens de R
L1-MPAlg´ebre semestre 1
2 Unplange´ome´triquemunid’unrepe`reorthonorm´es’identifie`aR.Ceacfiinoitietttnedefid´rnirmpedeet 2 2 2 surRle produit scalaire de deux vecteurs deR, la norme d’un vecteur deR, la notion de vecteurs 2n orthogonaux deRirunsmelemtnn,uoasllno,...Plusg´en´eraRet ses sous-espaces vectoriels d’un produit scalaireetenexaminerlespremie`resproprie´t´es.
1.1De´finitions n D´efinition1.1.1(produit scalaire de deux vecteurs deR) Soitu= (u1, . . . , un)etv= (v1, . . . , vn)deux n vecteurs deR, on appelle produit scalaire deuetve´tonleer´le,< u, v >´efinipar:dte
< u, v >=u1v1+u2v2+∙ ∙ ∙+unvn
.
n n D´efinition1.1.2(norme d’un vecteur deR) Soitu= (u1, . . . , un)un vecteur deR, on appelle norme de uet on note||u||eeplsotiel´rpar:ifd´efini q √ 2 2 2 ||u|< u, u |=u1+u2+∙ ∙ ∙+un=> .
Propri´ete´sduproduitscalaireetdelanorme:
n Bilin´earit´e:Pour toutu1, u2, v∈R, pour toutλ∈R:
< u1+u2>, v =< u1>, v +< u2, v > < v, u1+u2>=< v, u1>+< v, u2, >
n Syme´trie:Pour toutu, v∈R:v >< u, =u >< v, .
1
, ,
< λu1>, v =λ < u1, v > < v, λu1>=λ < v, u1>
.
n Leproduitscalaireestde´finipositif:Pour toutu∈R:
2 < u, u >=||u|| ≥0
et
||u||= 0⇐⇒u= 0
n Norme d’une somme de deux vecteurs :Pour toutu, v∈R:
.
2 2 2 ||u+v||=< u+v, u+v >=||u||+||v||+2< u, v >
.
En particulier, nous obtenons : 1 2 2 2 < u, v >= (||u+v|| − ||u|||| − v||). 2 n In´egalite´deSchwarz:Pour toutu, v∈R:|v >< u, | ≤ ||u|| ||v||teesueisnetlume´egaasd’ealilit´ceL. siv= 0 ou s’il existeλ∈Rtel queu=λv.
n Ine´galite´deMinkowski:Pour toutu, v∈Retλ∈R:||u+v|| ≤ ||u||+||v||ec.Laeil´te´agsa’d lieu si et seulement siv= 0 ou s’il existeλ≥0 tel queu=λv.
n Homog´en´eit´e:Pour toutu∈R:||λu||=|λ| ||u||.
D´efinition1.1.3 < u, v >= 0.
n (orthogonalit´e)DeuxvecteursuetvdeRsont dits orthogonaux si et seulement si
Remarque 1.1.4euctstreveUn`llaiuˆmrootoganeulementemesietsvxueD.luntseli’stonssurteec 2 2 2 ortogonauxsietseulementsi”l’identit´edePythagore”estve´rifi´ee:||u+v||=||u||+||v||.
n Proposition 1.1.5Une famille(u1, . . . , ur)de vecteurs non nuls deRxuedhtronogoexuade`auxetsnu famille libre.
Preuve :sid´Consnoreλ1, . . . , λr∈Rtels que
λ1u1+∙ ∙ ∙+λrur= 0
2
.
Onende´duit,pourtouti∈ {1,2, . . . , r}:
< λ1u1+∙ ∙ ∙+λrur, ui>=<0, ui>= 0
Parbiline´arit´eduproduitscalaire,onobtient:
.
λ1< u1, ui>+∙ ∙ ∙+λi−1< ui−1, ui>+λi< ui, ui>+λi+1< ui+1, ui>+∙ ∙ ∙+λr< ur, ui>= 0
Comme les vecteurs (u1. . . , urnt:s)euadrtxotdonx`euono,eitbogohxuan
2 λi< ui, ui>=λi||ui||= 0
.
.
2 Puisque le vecteuruiustseno´eospp,ulnn||ui|| 6= 0 et doncλi=usav0.Noinsionsatnomqe´raleuimafell (u1. . . , ur) est libre.
n 1.2 Sous-espace euclidien de R n Dans ce paragraphe,E-suoapseevecrotcleieliucendiRde.d´esigneraunsSurE, nous avons une additionetunproduitparlesnombresre´elsvenantdesastructured’espacevectoriel.Maisnousavons,issu n du produit scalaire deRellenouv,unernousaritpoe´E:
E×E−→R
,
(u, v)−→7< u, v >
appele´eproduitscalairenaturelsurEavons donc aussi une application :. Nous √ E−→uR , ||7−→u||=< u, u >
appele´enormeeuclidiennenaturelledeE.
n Cesapplicationsconserventlespropri´ete´sduproduitscalairedeRtie´s,mylinie´ra:b,fitiosipfin´e,dietr´e ine´galite´deSchwarz,in´egalite´deMinkowski,homoge´n´eit´e.
3
D´efinition1.2.1sebane)Uee´mronohtroesab((e1, . . . , ep)deEnormrthoaseo´eebppleseated´eeEsi pour touti, j∈ {1,2, . . . , p}:
< ei, ej>= 0
si
i6=j
et
2 < ei, ei>=||ei||= 1
n n Remarquons que la base canonique deR´meenoroedtuneesorthbaseR.
Proposition 1.2.2Soitpla dimension deEfamille de. Une pvecteurs deEde norme1dauexedtue`x orthogonaux est une base deEedeodtsnucneC.noho´ermasebrteoE.
Preuve :sestform´eedeD’apalrp`rsetioiposo,c.5.1n1mifateetiltseellellE.erbpvecteurs. Commepest la dimension deE, c’est une base deE. Proce´de´d’orthonormalisationdeSchmidt: Soitpla dimension deEet (e1, e2, . . . , ep) une base de Eloalexns.usNoorthonord´editd’nurpcoe´lpcitireofiuqtdinetinrutisalimahmScdeonppesu´etaseneba orthonorm´eedeE.
De´part:(e1, e2, . . . , ep) base deE. e1 ´ EtapePosons1 : 1= . C’est un vecteur de norme 1. La famille (1, e1, e2, . . . , ep) est une base deE. ||e1|| ´ Etaper: (1, 2, . . . , r) famille deronogthorc(vexaauedseriatxueda`xuvecsuniteur1, 2, . . . , r, er+1. . . , ep) base deE.
Posons : er+1−< 1, er+1> 1−< 2, er+1> 2− ∙ ∙ ∙ −< r, er+1> r r+1=. ||er+1−< 1, er+1> 1−< 2, er+1> 2− ∙ ∙ ∙ −< r, er+1|| On constate d’une part quer+1est unitaire et orthogonaux aux vecteurs1, 2, . . . , rlrse.prroepUnsu´eeti´ basesechelonn´eespermetd’affirmerque(1, 2, . . . , r+1, er+2, . . . , ep) est une base deE(. Ainsi, 1, 2, . . . , r+1) est une famille deradeueux`resditaite(anxuohogoxtrnusruetcev1, 2, . . . , r+1, er+2. . . , ep) base deE.
4
Noussommesarrive´s`a:
´ Etaper(+1 : 1, 2, . . . , r+1) famille derceetruusinatrise+1vuano(texuxdede`aoruxogth1, 2, . . . , r+1, er+2. . . , ep) base deE.
´ Etapen: (1, 2, . . . , n)edm´eeonororthbaseE.
n Proposition 1.2.3Tout sous-espace vectoriel deReem´oron.baseorthadmetune
Preuve :´eocedd´rt’onoholamrtasidnoihcSemidtnuteffenE-suosletceveespaielactornubemdteeLrpsa.e permet`apartirdecettebased’enconstruireunebaseorthonorm´ee.
4 Exercices-ouusedcepaes:Donnerunbesaoetrohonmre´HdeRqe´’dnoitaux1+x2+x3+x4= 0.
Solutionloseoituemht´redtqen(ueonn,tiobP:raogir’llae1= (−1,1,0,0), e2= (−1,0,1,0), e3 (−1,0,0,1)) est une base deHonqulipp.A’drodee´or´clspetionlisaormathondeSchmidt: √ ´ Etape 1 :||e1||on obtient := 2, 1 1=√(−1,1,0,0). 2 s 1 1 3 ´ Etape 2 :e2−< 1, e2> 1= (−,−,1,0) et||e2−< 1, e2> 1||= . On obtient : 2 2 2 s 2 1 1 2= (−,−,1,0). 3 2 2 1 1 1 2 ´ Etape 3 :e3−< 1, e3> 1−< 2, e3> 2= (−,−,−,1) et||e2−< 1, e2> 1||=√. On obtient : 3 3 3 3 √ 3 1 1 1 3= (−,−,−,1). 2 3 3 3
5
=
