Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 09-10 semestre 1 4 Espaces vectoriels : generalites Dans cette section, K designera un corps. Par exemple le corps Q, R ou C. 4.1 Definition, exemples Definition 4.1.1 Un K-espace vectoriel E est la donnee d'un ensemble E muni d'une loi interne dite d'addition : E ? E ? E, (u, v) 7? u + v et d'une loi externe dite de multiplication par un scalaire : K ? E ? E, (?, u) 7? ?u asujettis aux conditions suivantes : L'addition est une loi de groupe commutatif : i) Associativite : ?u, v, w ? E , (u+ v) + w = u+ (v + w) . Cet element est alors note u+ v + w. ii) Existence d'un element neutre : il existe un element note 0 ? E (ou ~0, ou encore 0E) tel que pour tout u ? E : u+ 0 = 0 + u = u . iii) Existence d'un oppose : pour tout element u ? E, il existe un element note ?u ? E, appele oppose de u , tel que u+ (?u) = (?u) + u = 0 . iv) Commutativite : ?u, v ? E , u+ v = v + u .
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Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 09-10 semestre 1 4 Espaces vectoriels : generalites Dans cette section, K designera un corps. Par exemple le corps Q, R ou C. 4.1 Definition, exemples Definition 4.1.1 Un K-espace vectoriel E est la donnee d'un ensemble E muni d'une loi interne dite d'addition : E ? E ? E, (u, v) 7? u + v et d'une loi externe dite de multiplication par un scalaire : K ? E ? E, (?, u) 7? ?u asujettis aux conditions suivantes : L'addition est une loi de groupe commutatif : i) Associativite : ?u, v, w ? E , (u+ v) + w = u+ (v + w) . Cet element est alors note u+ v + w. ii) Existence d'un element neutre : il existe un element note 0 ? E (ou ~0, ou encore 0E) tel que pour tout u ? E : u+ 0 = 0 + u = u . iii) Existence d'un oppose : pour tout element u ? E, il existe un element note ?u ? E, appele oppose de u , tel que u+ (?u) = (?u) + u = 0 . iv) Commutativite : ?u, v ? E , u+ v = v + u .
- multiplication
- base de mn
- systeme lineaire
- universite de nice - sophia-antipolis
- famille v1
- loi externe
Universit´edeNiceSophia-Antipolis 09-10
4
Espaces vectoriels :
g´ene´ralite´s
Dans cette section,Kpmeleloc.saPerexrpsengise´dprocnuarQ,RouC.
L1-MPAlg´ebre semestre 1
4.1D´efinition,exemples De´finition4.1.1UnK-espace vectorielEelbmesnenu’´eeddonnstlaeEmuni d’une loi interne dite d’addition :E×E→E,(u, v)7→u+vet d’une loi externe dite de multiplication par un scalaire : K×E→E,(λ, u)7→λuasujettis aux conditions suivantes :
L’addition est une loi de groupe commutatif :
i)Associativit´e:∀u, v, w∈E ,(u+v) +w=u+ (v+w).taesntme´eelt´Ceeon´tolsru+v+w. ~ ii)Existenced’une´l´ementneutre:ilexisteun´ele´mentnote´0∈E(ou0, ou encore0E) tel que pour tout u∈E:u+ 0 = 0 +u=u .
iii)Existenced’unoppose´:pourtoute´l´ementu∈Eue´nixtsi,elenot´mentel´e−u∈Ee´soppoe´leppa,de u, tel queu+ (−u) = (−u) +u= 0.
iv)Commutativit´e:∀u, v∈uE , +v=v+u .
Laloiexternev´erifiepourtoutu∈Eetλ, µ∈K:λ(µ u) = (λµ)uet1u=uuo`1est le neutre de la multiplication deK. Lesdeuxloisv´erifiententreellespourtoutu, v∈Eetλ, µ∈K:
(λ+µ)u=λu+µu
et
λ(u+v) =λu+λv .
Exemples 1) Le corpsKtionaddiesonunidmemeiuˆmlnontituespitlaciledteumasK-espace vectoriel.
1
n 2) L’ensembleKdesnemtndseds´’lee´-upletKest unKonetoisnretaidit’ddapoelritop´soseure-cevecaps demultiplicationparune´le´mentdeK: (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn) etλ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn). 2) L’ensembleMn,pirta`secasmdenlignes etptndscffieiceronalsoloncacoenes`psKest unK-espace vectorielpoursesope´rationsd’additionetdemultiplicationparune´le´mentdeK: (ai,j) + (bi,j) = (ai,j+bi,j) etλ(ai,j) = (λai,j). 3) Le corpsCdes nombres complexes est unR-espace vectoriel muni de son addition et de la mutliplication naturelleparlesnombresre´els.
Lese´lementsd’unKuetctesr´lepevsetsencodus´leemelprsspac-eotirvecetnpaleosKpaep´lseostn scalaires.
4.2 Sous-espaces vectoriels Dans cette sous-section,Esegi´dunneraK-espace vectoriel. D´efinition4.2.1Une sous-ensemble non videFdeEppatsesuose´leed-espacevectorielEsiFest stable pourl’additionetpourlamultiplicationexterne,c’est`adiresi: ∀u, v∈F ,∀λ∈K:u+v∈Fetλu∈F . Onpeutalorsve´rifierquesiFest un sous-espace vectoriel deE, l’addition et la multiplication par un scalaire deEinduisent surFop´edeuxonsqratitnediuofFionpscauenecevrito.Iel´elrtlusledee´datinfi que 0Eest le neutre pour l’addition deFet que siu∈F’les´poop−u= (−1)udeudansEitneppraat`aF etestaussisonoppose´dansF.
Exemples 1)Eet l’ensemble{0E}re´udtieauz´erodEsont des sous-espaces vectoriels deE. 2)L’ensembledesnombresre´elsestunsous-espacevectorielduR-espace vectoriel des nombres complexes.
2
Proposition 4.2.2L’intersection de sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielEest un sous-espace vec-toriel deE.
Preuve :SoitF1etF2deux sous-espaces vectoriels deE. Tout d’abord 0E∈F1, carF1est un sous-espace vectoriel deE0eme,eDˆm.E∈F2. Ainsi, 0E∈F1∩F2etF1∩F2Soitest donc non vide. u, v∈F1∩F2 etλ∈K. En particulier,uetvx´eu´eelstdontnemedsF1. CommeF1est un sous-espace vectoriel deE: u+v∈F1etλu∈F1mˆDe.euqertnomno,emeu+v∈F2etλu∈F2. Ainsi,u+v∈F1∩F2etλu∈F1∩F2. Cela montre queF1∩F2est un sous-espace vectoriel deE.
Proposition 4.2.3s)dedsmembressnanocea.c(s.d.ogomne`eean´ehirunsynsd’melist´eeLtuoisslop´eqauitnos n a`navirbasprocnusnasdntiefficoeacs`leKforment un sous-espace vectoriel deK.
Preuve :oCmmnopsnec¸ntrearmolessrquesnoituloqe´enu’dliontiuaehirean´mogoe`ena`nbles`avraai n coefficients dans un corpsKforment un sous-espace vectoriel deKSoita1, . . . , an∈KD,e´arspongnsiF l’ensembledessolutionsdel’´equationlin´eaire:
a1x1+a2x2+∙ ∙ ∙+anxn= 0
n Montrons queFest un sous-espace vectoriel deK. Tout d’abord,Fest non vide puisqu’il contient 0 = n (0,0, . . . ,0). Soitx= (x1, x2, . . . , xn),y= (y1, x2, . . . , yn)∈Kdeux´el´emendetsFetλ∈K. Ainsi,xietyi sontdese´l´ementsdeKtv´eetn:irefi
a1x1+a2x2+∙ ∙ ∙+anxn= 0
Ilenre´sulte: a1(x1+y1) +a2(x2+y2) +∙ ∙ ∙+an(xn+yn)
D’autre part :
= = =
et
a1y1+a2x2+∙ ∙ ∙+anyn= 0.
a1x1+a1y1+a2x2+a2y2+∙ ∙ ∙+anxn+anyn (a1x1+a2x2+∙ ∙ ∙+anxn) + (a1y1+a2y2+∙ ∙ ∙+anyn) 0 + 0 = 0.
a1(λx1) +a2(x2) +∙ ∙ ∙+an(λxn)
3
= =
λ(a1x1+a2x2+∙ ∙ ∙+anxn) λ0 = 0.
n Ilenr´esultequex+yetλxementsdesnodtsee´´lF. Donc,Fun un sous-espace vectoriel deK. Or, l’ensembledessolutionsd’unsyste`meline´aireestl’intersectiondessolutionsdechaquee´quationdecesyste`me, lapropositionsede´duitalorsdelaproposition4.2.3
D´efinition4.2.4Soitu1. . . , up∈Eetλ1, . . . , λp∈K. Le vecteurλ1u1+λ2u2+∙ ∙ ∙+λpupep´lueeneapst combinaisonlin´eairedeu1, u2, . . . , up. On noteV ect(u1, u2, . . . , up)ireadeesedesembl’enslil´nossnniiaocbm u1, u2, . . . , up.
Proposition 4.2.5Soitu1. . . , up∈E, alorsV ect(u1, u2, . . . , up)est un sous-espace vectoriel deEleppele´a sous-espacevectorielengendre´paru1, . . . , up.
Preuve :On a 0E= 0u1+ 0u2+∙ ∙ ∙+ 0up. Donc, 0E∈V ect(u1, u2, . . . , upSoit) qui est donc non vide. λ1u1+∙ ∙ ∙+λpupetµ1u1+∙ ∙ ∙+µpup`uoλi, µi∈Kibancxmolsnisinosdreai´edeueu1, . . . , upet soitλ∈K:
(λ1u1+∙ ∙ ∙+λpup) + (µ1u1+∙ ∙ ∙+µpup) λ(λ1u1+∙ ∙ ∙+λpup)
= =
(λ1+µ1)u1+∙ ∙ ∙+ (λp+µp)up (λλ1)u1+∙ ∙ ∙+ (λλp)up
Ainsi,V ect(u1, u2, . . . , up) est non vide et stable par addition et multiplication par un scalaire. C’est dons un sous-espace vectoriel deE.
Remarque 4.2.6On notera en particulier que siu1, . . . , uptorievecspacus-enuostna`naeepnpraitleFde Eedreai´einnlsoaiinbmocetuot,u1, . . . , upest un vecteur deF. Ainsi,vect(u1, . . .;up)est un sous-espace vectoriel deF.
4.3Famillelibre,famillege´n´eratriceetbase Dans cette sous-section,Esegienarnud´K-espace vectoriel.
De´finition4.3.1Soitv1, v2, . . . , vp∈E. a) On dit que la famillev1, v2, . . . , vpotisevturtar,ecieucterdetsen´eleg´amilunefE´naerieansinoiltcesbiom
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