Université de Nice Sophia Antipolis L1 M
3
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
3
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Université de Nice Sophia Antipolis L1 M 2011-2012 Exemples de rédactions Exercice 3 feuille 3 Pour démontrer l'équivalence i)? ii) , prouvons l'implication i)? ii) puis l'implication non i)? non ii) contra- posée de la réciproque. * Preuve de l'implication i)? ii). Supposons donc f de limite en x0 et considérons une suite de réels un ?]a, b[ convergeant vers x0. Il s'agit alors de montrer que la suite (f(un)) converge vers , à savoir que : ? > 0 ?N ? N ; ?n ? N , n > N ? |f(un)? | < . Soit donc un réel > 0 quelconque. Comme f a pour limite en x0 on sait que : ?? > 0 ; ?x ?]a, b[ , |x? x0| < ? ? |f(x)? | < . Comme la suite (un) converge vers x0 et que ? > 0 on en déduit que : ?N ? N ; ?n ? N , n > N ? |un ? x0| < ?. Pour cet entier N , comme un ?]a, b[ on a alors ?n ? N , n > N ? |un ? x0| < ? ? |f(un)? | < et on peut alors conclure que i)? ii).
Voir
- redaction
Université de Nice Sophia Antipolis L1 M 2011-2012 Exemples de rédactions Exercice 3 feuille 3 Pour démontrer l'équivalence i)? ii) , prouvons l'implication i)? ii) puis l'implication non i)? non ii) contra- posée de la réciproque. * Preuve de l'implication i)? ii). Supposons donc f de limite en x0 et considérons une suite de réels un ?]a, b[ convergeant vers x0. Il s'agit alors de montrer que la suite (f(un)) converge vers , à savoir que : ? > 0 ?N ? N ; ?n ? N , n > N ? |f(un)? | < . Soit donc un réel > 0 quelconque. Comme f a pour limite en x0 on sait que : ?? > 0 ; ?x ?]a, b[ , |x? x0| < ? ? |f(x)? | < . Comme la suite (un) converge vers x0 et que ? > 0 on en déduit que : ?N ? N ; ?n ? N , n > N ? |un ? x0| < ?. Pour cet entier N , comme un ?]a, b[ on a alors ?n ? N , n > N ? |un ? x0| < ? ? |f(un)? | < et on peut alors conclure que i)? ii).
- ?x ≤
- comportement du numérateur
- ?n ?
- implication attendue
- numérateur
- preuve de l'implication
- limite en x0
UniversitÉ de Nice Sophia Antipolis
Exemples de rÉdactions
L1 M 2011-2012
Exercice 3 feuille 3 Pour dÉmontrer l’Équivalencei)⇔ii), prouvons l’implicationi)⇒ii)puis l’implicationnon i)⇒non ii)contra-posÉe de la rÉciproque.
* Preuve de l’implicationi)⇒ii).
Supposons doncfde limite`enx0et considÉrons une suite de rÉelsun∈]a, b[convergeant versx0. Il s’agit alors de montrer que la suite(f(un))converge vers`, À savoir que :
∀ >0∃N∈N;∀n∈N,n > N⇒ |f(un)−`|< .
Soit donc un rÉel >0quelconque. Commefa pour limite`enx0on sait que :
∃δ >0;∀x∈]a, b[,|x−x0|< δ⇒ |f(x)−`|< .
Comme la suite(un)converge versx0et queδ >0on en dÉduit que :
∃N∈N;∀n∈N,n > N⇒ |un−x0|< δ. Pour cet entierN, commeun∈]a, b[on a alors ∀n∈N,n > N⇒ |un−x0|< δ⇒ |f(un)−`|< et on peut alors conclure quei)⇒ii). ** Preuve de l’implicationnon i)⇒non ii).
On supposenon i)c’est À dire que : ∃0>0;∀δ >0∃x∈]a, b[;|x−x0|< δet|f(x)−`| ≥0. 1 Appliquons, pour chaque entiern >0, ce rÉsultat au cas particulier oÙδ=. On obtient ainsi une suite de n 1 nombres rÉelsxn∈]a, b[tels que|xn−x0|<et|f(xn)−`| ≥0>0. n
On en dÉduit alorsnon ii)car il est aisÉ de voir avec le "thÉorÈme des gendarmes" que la suite(xn)ainsi obtenue converge versx0tandis que la suite(f(xn))correspondante ne converge pas vers`car le fait que∀n >0 |f(xn)−`| ≥0>0interdit À la suite(f(xn)−`)de converger vers0.
Exercice 6 feuille 3 9 5 x+4x+2x a) La limite quandx→0du quotientf(x)=12 3se prÉsente sous forme indÉterminÉe car le numÉrateur x+2x+2x et le dÉnominateur tendent vers0. Il convient alors de rÉÉcrire ce quotient sous une forme qui fait disparatre cette indÉtermination. Pour cela, remarquons que lorsquex→0, le comportement du numÉrateur est dominÉ par celui du terme2xcar les autres termes de la somme sont nÉgligeables devant lui. Il en est de mme ici pour le dÉnominateur. Factorisons-les tous les deux par2xpuis simplifions l’expression. On obtient : 8 4x 1+2x+ 2 f(x)=11 x 2 1+x+ 2 La limite quandx→0du quotient obtenu est alors clairement lisible, elle vaut 1. Conclusion :limf(x)=1. x→0 100 2 x+x b) La limite quandx→0de4se prÉsente sous forme indÉterminÉe : numÉrateur et dÉnominateur tendent x+x vers0. 2 100 Remarquons que lorsquex→0, au numÉrateur le termexdomine le termextandis qu’au dÉnominateur le 4 2 termexdomine le termex. Factorisons alors le numÉrateur parxet le dÉnominateur parxpuis simplifions l’expression. On obtient : 98 1+x g(x)=x3 1+x La limite quandx→0de l’expression obtenue est alors clairement lisible et vaut 0. Conclusion :limg(x)=0. x→0 c) Pour les mmes raisons que celles ÉvoquÉes plus haut, on rÉÉcrit icih(x)sous la forme 8 1 1+x h(x)=2 2 x1+x La limite quandx→0deh(x)est alors clairement lisible et vaut+∞.
Exercice 7 feuille 3 * Pourx >0En utilisant le fait que la fonction sinus est bornÉe par−1et1, on obtient 1 −x≤xsin( )≤x x D’aprÈs le thÉorÈme des gendarmes on peut en conclure quelimf(x)=0. + x→0 2 * Pourx≤0on af(x) = 2x+xqui est polynÔmiale donc on peut en dÉduire quelimf(x)=f(0)=0. − x→0 Comme on alimf(x)=limf(x)=f(0), on peut conclure quefa pour limitef(0)quandxtend vers0, À +− x→0x→0 savoir0.
Exercice 8 feuille 3 4 22 x+2x x+2 * Pourx >0On af(x)=6 2= =4et on dÉduit directement de cette derniÈre expression quelimf(x) x+x x+1 + x→0 =2. * Pourx≤0On af(x)=1−cos(x)ce qui nous donnelimf(x)=1−1=0, on peut conclure alors quefn’a − x→0 pas de limite quandxtend vers0.
Exercice 9 feuille 3 1 On considÈre la fonctionfsur l’intervalle]0; 1[dÉfinie parf(x)= ,et il s’agit de dÉmontrer que : x−1 1 ∀A >0∃δ >0;∀x∈]0; 1[,|x−1|< δ⇒<−A. x−1
Pourx∈]0; 1[on a|x−1|= 1−xet l’hypothÈse|x−1|< δs’Écrit donc plus simplement1−x < δ. 1 11 Pour obtenir<−Ail suffit alors quex−1>−ou encore que1−x <. x−1A A 1 Si on peut toujours trouver un rÉel strictement positifδ <on aura alors bien l’implication attendue. A 1 Un tel rÉel existe toujours, par exemple on peut prendreδ=. 2A Conclusion :limf(x)=−∞ x→1 Exercice 14 feuille 3 * Nous allons montrer que la fonctionfn’a pas de limite quandx→+∞. 0 Pour c)qui tendent ve ela construisons deux suites(xn)et(xnrs+∞et telles que les suites images(f(xn))et 0 (f(x))ont des limites diffÉrentes. n 0 ne limite, finie ou infinie, les suites ((f(x Sifavait uf(xn)) etn)) auraient cette mme limite. 0π0 0 Prenons par exemplexn=2nπetx=+ )=xet, de maniÈre Évidente n22nπon a alorsf(xn)=0etf(xn n 0 limf(xn)=0alors quelimf(x)=+∞. n n→+∞n→+∞ sin(x) ** Pourg(x)=√, en utilisant le fait que la fonction sinus est bornÉe par−1et1, on obtient (x) 1 1 − √≤g(x)≤ √ (x) (x) D’aprÈs le thÉorÈme des gendarmes on peut en conclure quelimg(x)=0. x→+∞
