Universite de Nice Sophia Antipolis L1 Algebre semestre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 Algebre 10-11 semestre 1 Feuille 6 Application lineaire Exercices sur les operations entre applications lineaires Exercice 1 – On considere l'application : g : R2 ? R2 : (x1, x2) 7? g(x1, x2) = (x1 + 3x2, 2x1) . 1) Verifier que cette application est lineaire. 2) Expliciter l'application lineaire g2. Puis, montrer que g2 ? g ? 2IdR2 = 0. 3) Expliciter les applications lineaires f1, f2 ? LR(R2) telles que : { f1 + f2 = IdR2 f1 ? 2f2 = g ? IdR2 . Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel, f ? LR(E). 1) Montrer que (f ? 2IdE) ? (f ? 3IdE) = f 2 ? (?+ µ)f + ?µIdE. 2) Montrer que f ? 2IdE et f ? 3IdE commutent. On suppose dans la suite de l'exercice que f 2 ? 5f + 6IdE = 0. 3) Que dire de f si f ? 3IdE ou f ? 2IdE est inversible ? 4) Montrer que l'application f est inversible et preciser f?1 a l'aide de f . Exercices sur applications lineaires et sous-espaces vectoriels Exercice 3 – On considere l'application lineaire f : R4 ? R3 definie par : f(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3) = (x1 + x2
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Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 Algebre 10-11 semestre 1 Feuille 6 Application lineaire Exercices sur les operations entre applications lineaires Exercice 1 – On considere l'application : g : R2 ? R2 : (x1, x2) 7? g(x1, x2) = (x1 + 3x2, 2x1) . 1) Verifier que cette application est lineaire. 2) Expliciter l'application lineaire g2. Puis, montrer que g2 ? g ? 2IdR2 = 0. 3) Expliciter les applications lineaires f1, f2 ? LR(R2) telles que : { f1 + f2 = IdR2 f1 ? 2f2 = g ? IdR2 . Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel, f ? LR(E). 1) Montrer que (f ? 2IdE) ? (f ? 3IdE) = f 2 ? (?+ µ)f + ?µIdE. 2) Montrer que f ? 2IdE et f ? 3IdE commutent. On suppose dans la suite de l'exercice que f 2 ? 5f + 6IdE = 0. 3) Que dire de f si f ? 3IdE ou f ? 2IdE est inversible ? 4) Montrer que l'application f est inversible et preciser f?1 a l'aide de f . Exercices sur applications lineaires et sous-espaces vectoriels Exercice 3 – On considere l'application lineaire f : R4 ? R3 definie par : f(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3) = (x1 + x2
- r4 donnee par les images des vecteurs de la base b3
- r4
- ?16 ?16
- exercices sur matrices
- r2 ?
Universit´edeNiceSophia-AntipolisL1Alg´ebre 10-11 semestre1 Feuille 6 Applicationline´aire Exercicessurlesop´erationsentreapplicationsline´aires Exercice 1–itac:noa’leilpponsid`erOnc 2 2 g:R→R: (x1, x2)7→g(x1, x2) = (x1+ 3x2,2x1). 1)V´erifierquecetteapplicationestline´aire. 2 2 2)Expliciterl’applicationline´airegmontrer que. Puis,g−g−2IdR= 0. 2 2 3)Expliciterlesapplicationslin´eairesf1, f2∈ LR(R:) telles que ( f1+f2= IdR 2 f1−2f2=g−IdR. 2 Exercice 2–SoitEunR-espace vectoriel,f∈ LR(E). 2 1) Montrer que (f−2IdE)◦(f−3IdE) =f−(λ+µ)f+λµIdE. 2) Montrer quef−2IdEetf−3IdEcommutent. 2 On suppose dans la suite de l’exercice quef−5f+ 6IdE= 0. 3) Que dire defsif−3IdEouf−2IdEest inversible ? −1 4) Montrer que l’applicationfreisitvnseerecistpr´bleefededia’la`f. Exercicessurapplicationsline´airesetsous-espacesvectoriels 4 3 Exercice 3–erd`’aelncOsioneriticalippean´lionf:R→R:eparinfie´d f(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3) = (x1+x2+ 4x3+x4, x1−2x2−2x3−x4,2x1+x2+ 6x3−2x4) 3 4 SoitB3la base canonique deRetB4celle deR. 1)Pre´ciserl’imagedesvecteursdelabaseB4est la matrice. QuelleM(f,B3,B4) ? 2) SoitD=<(1,2,2,1)>ebvaescetdoursiomusi-neesrpuance,´Dterelef(D). 3) SoitF=<(1,1,0,0),(0,0,1,0),(1,0,0,1)>ebaserunrmin´eteecevseapuo-sdesulieorctD. f(F). 0 4)D´eterminerunebaseBde l’image def. 5)D´eterminerkerf. 3 6) SoitGle sous-espace vectoriel deRe´uq’dntaoiy1+y2+y3abenurenudes=0.ermiD´et −1 sous-espace vectorielf(G). 7) Notonse1, e2, e3, e4les vecteurs de la baseB4. Montrerque (f(e1), f(e2), f(e4)) est une base, 00304 note´eB, deR, puis montrer que (e1, e2, e4,2e1+ 2e2−e3sebaot,ne´ese)enutB, deR. 00 0 De´terminerlamaticeM(f,B,B). 3 4 Exercice 4–SoitB3la base canonique deRetB4celle deR. 3 4 1)Expliciterl’applicationlin´eairef:R→Rsdgemasilearep´eabaledsruetcevseseodnn B3: f(1,0,0) = (5,−8,−1,3), f(0,1,0) = (2,−3,−2,−1), f(0,0,1) = (−1,+2,−3,−5)
2)Pre´ciserlamatriceM(f,B4,B3) ? 2)De´terminerunebasedel’imagedef. L’applicationfest-elle surjective ? 3 3) SoitFle sous-espace deRtionequad’´x1+x2+x3ecapses-ouusedasebunermrnie´et0=D. vectorielf(F). 4) L’applicationfresireknpnoecr´ivctSie?leelniejse-tf. 0 5) Notonse1, e2, e3les vecteurs de la baseB3. MontrerqueB= (e3, e2, e3−2e2+e1) est une 3004 base deRqu’il existe une base. MontrerBdeR, de sorte que : 1 0 0 0 1 0 00 0 M(f,B,B) = 0 0 0 0 0 0 3 Exercice 5–lafetede(sui´drenois4eC)iullsonPle sous-espace vectoriel deRn’d´equatio 3 x+y+ 3z= 0 etDle sous-espace vectoriel<(1,1,2)>deRee´uq.tronamOnPetDsont 3 deuxsous-espacesvectorielssupple´mentairesdeR. 1) Expliciterpla projection vectorielle surPnt`aaparlle`elemD. 3 2) Quelle est la matriceAdepertilameve`antbalaoninesacuqeB3deRerifi?V´eerqu 2 A=A. 3 3) Donner une base (u, v) deP. Montrerque (u, v,(1,1,2)) est une baseRque l’on noteraB. 3 4) Quelle est la matrice depent`ivemelatrsaelabaBdeR? 4 Exercice 6–eleditsu(snocnO)4elliuefae´dierP1le sous-espace vectoriel deR’de´uqtaoisn: ( x−y+z+t= 0 P1: x+ 2y−2z+ 4t= 0. et le sous-espaceP2=<(1,0,1,0),(0,2,0,1)>. 4 Onamontr´equeP1etP2seedementairlssuppl´tceveiropse-secauxdeussontsoRet on a donn´eunebase(u1, u2) deP1et (u3, u4) deP2 1) Explicitersrroaaerielvltpce`rtteaipmpyreo´lasP1aall`parent`elemP2. 4 2 2) Quelle est la matriceAdesitevemtna`alabescanoniquedelareR? VerifierqueA= Id4. 4 3) Montrer que (u1, u2, u3, u4) est une base deRque l’on noteraB. 4 4) Quelle est la matrice des`alabasetivementalerBdeR?
3 Exercice 7–SoitHle sous-espace vectoriel deRitauqde´’nox+y+z= 0.SoitD1le 3 3 sous-espace vectoriel<(1,−1,0)>deRetD2le sous-espace vectoriel<(1,0,−1)>deR. 1) Montrer queD1etD2edseriatneme´plupsscepaess-ousontdeuxsP. Soits∈ LR(Pro`tarppperateirsym´)laaD1a`tell`enempalarD2. 2) Quelle est la matrice des`tlabasa(tea1v(imenerel,−1,0),(1,0,−1)) deP? 3) Soit (x, y, z)∈Pce´rresips(x, y, z). Exercicessurbases,dimensionetapplicationsline´raires Exercice 8–SoitEunK-espace vectoriel de dimension 1.Montrer que les seules applications line´airesdeEversEieorctve.esllsonohomltseitsehte´ 2
Exercice 9–SoitEunR-espace vectoriel de dimension 4 etB= (e1, e2, e3, e4) une base de E. Soitf∈ LR(Enlo)itpapcai’lriae´niliefin´eedr:pa f(e1) =e1, f(e2) =e2, f(e3) = 17e3, f(e4) = 0. k 1)De´terminerlamatriceM(f,Be´icesersniuetopurtoutPr).kentierM(f ,B). 2) Montrer que (f−IdE)◦(f−17IdE)◦f= 0 (on pourra utiliser que les endomorphismes (f−IdE),(f−17IdE), feux`adeummutentdoc)x. Exercice 10–SoitEunR-espace vectoriel de dimensionnsurerinelai´eellemrofO.ppan Etoeiredn´eanoilacitppiltuaeEversR,dentme´eel´tuoterida`tse’cLR(E,R). 1)Montrerquetouteformelin´eairesurEnon nulle est surjective et que son noyau est un sous-espace vectoriel deEde dimensionn−1. n 2)Rappelerl’expressionge´ne´raledesformeslin´eairessurR. ∗ 3)(plus difficile) SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base deE. Pour1≤i≤n, on noteel’application i e´me∗ ∗ deEdansRuiqsoase`cinvauetceasruirdonn´eedanslabaesoocBque (. Montrer. . . , ee ,) 1n est une base deLR(E,R). ∗ ∗n n 4) Expliciter cette base (e ,. . . , e) siE=Ret siBest la base canonique deR. 1n Sif∈ LR(E,R) et queVest un sous-espace vectoriel deE, on appelle restriction defa`V, note´ef|V, l’application :f|V:V→R:v7→f|V(v) =f(v). 5) Montrer quef|V∈ LR(V,R). 6) (plus difficile) Montrer que l’application :φ:LR(E,R)→ LR(V,R) :f7→f|Vseniltiae´er et surjective. 7)End´eduireque{f∈ LR(E,R) ;∀v∈V:f(v) = 0}est un sous-espace vectoriel de LR(E,R) de dimension dimRE−dimRV. 3 8) SoitE=RetV=<(1,−1,0),(1,0,−1)>etD´.urenimreudesaben-espsousectoacevirle 3 3 {f∈ LR(R,R) ;∀v∈V:f(v) = 0}deLR(R,RO.)resbqzevu’`aunetellebaseocrrseopdn une´equationdeV. Exercicessurmatricesetapplicationslin´eaires 3 22 3 Exercice 11–Soitf∈ LQ(Q,Q) eth∈ LQ(Q,Q). SoitB2la base canonique duQ-2 3 espace vectorielQetB3la base canonique duQ-espace vectorielQ. Ondonnef, hpar leurs matrices dans les bases canoniques : ! 2 1 1 0−2 A=M(f,B2,B3) =∈M2,3(Q), C=M(h,B3,B2) =1−2∈M3,2(Q). 4 10 1 1 1)Pr´eciserfeth. 2) CalculerACetCAtaoilpcieralsnte.Deqesapuellsesabsntmevetileelqu`aACetCA sont-elleslesmatrices?Pr´eciseralorscesapplicationslin´eaires. 2 Exercice 12–onlicatippliel’a´drenoisOcneriae´nf∈ LR(R) de matrice dans la base canon-2 iqueBcandeR: ! 1 18−16 A= 2−16 18 3
