Universite de Nice Sophia Antipolis
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Niveau: Supérieur
Universite de Nice Sophia Antipolis Corrections Feuille 3 Exercice 1. — 1-a. Rang de f . Le rang de f est par definition la dimension de Im(f), mais on sait que cet entier est aussi le rang de n'importe quelle matrice representant f (quelles que soient les bases au depart et a l'arrivee). Par definition le rang d'une matrice est le nombre maximal de colonnes lineairement independantes (il s'agit aussi du nombre maximal de lignes lineairement independantes). Ici le rang de M est 2, donc rg(f) = rg(M) = 2. Noyau de f . Soit (x, y, z) ? Ker(f). Alors [(x, y, z)] C = ? ? x y z ? ?. D'autre part [f(x, y, z)] C = M · [(x, y, z)] C et f(x, y, z) = 0 ? [f(x, y, z)] C = ? ? 0 0 0 ? ?. Cette egalite conduit au systeme suivant, portant sur les coordonnees dans la base canonique d'un vecteur du noyau : ? ? ? x + y + 2z = 0 x = 0 3x = 0 ? { y = ?2z x = 0 Donc, en quittant les coordonnees dans la base canonique et
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Universite de Nice Sophia Antipolis Corrections Feuille 3 Exercice 1. — 1-a. Rang de f . Le rang de f est par definition la dimension de Im(f), mais on sait que cet entier est aussi le rang de n'importe quelle matrice representant f (quelles que soient les bases au depart et a l'arrivee). Par definition le rang d'une matrice est le nombre maximal de colonnes lineairement independantes (il s'agit aussi du nombre maximal de lignes lineairement independantes). Ici le rang de M est 2, donc rg(f) = rg(M) = 2. Noyau de f . Soit (x, y, z) ? Ker(f). Alors [(x, y, z)] C = ? ? x y z ? ?. D'autre part [f(x, y, z)] C = M · [(x, y, z)] C et f(x, y, z) = 0 ? [f(x, y, z)] C = ? ? 0 0 0 ? ?. Cette egalite conduit au systeme suivant, portant sur les coordonnees dans la base canonique d'un vecteur du noyau : ? ? ? x + y + 2z = 0 x = 0 3x = 0 ? { y = ?2z x = 0 Donc, en quittant les coordonnees dans la base canonique et
- ?m ?2
- u1 ·
- invariant des matrices equivalentes
- ????? ligne
- base de im
- colonnes elementaires
- systeme deja
- ?5y ?
Universite de Nice Sophia Antipolis
Corrections Feuille 3
Exercice 1.— 1a. Rangdef.Le rang defimadnliodeonsientsapenfitidre´I m(f), mais on sait quecetentierestaussilerangden’importequellematricerepr´esentantf(quelles que soient les bases au d´eparteta`l’arrive´e).Pard´efinitionlerangd’unematriceestlenombremaximaldecolonnesline´airement ind´ependantes(ils’agitaussidunombremaximaldelignesline´airementind´ependantes).IcilerangdeMest 2, doncrg(f) =rg(M) = 2. x Noyau def.Soit (x, y, z)∈Ker(f[(). Alorsx, y, z)]C=ypart [. D’autref(x, y, z)]C=M∙[(x, y, z)]C z 0 etf(x, y, z) = 0⇔[f(x, y, z)]CCe.0alege´ttdnoce´tisysuatiu=´ennest`emesuivant,porattnuslrseocrood 0 dans la base canonique d’un vecteur du noyau : x+y+ 2z= 0 y=−2z x= 0⇔ x= 0 3x= 0
Donc,enquittantlescoordonne´esdanslabasecanoniqueetenrevenantauxvecteurs: ker(f) ={(0,−2z, z), z∈R} ={z.(0,−2,1), z∈R}. = Vect((0,−2,1)) Le vecteur (0,−2,1), qui engendre ker(f) est non nul, donc constitue une famille libre de ker(f) et ainsi une base. Image def.me`eor´ethlearP(mgnidudarI m(f)) = 2.Les vecteursf(e1), f(e2), f(e3) engendrent l’image defen extrait une base de. OnI m(f), en trouvant une famille libre maximale parmi ces trois vecteurs.Or unefamilleestlibressilafamilledesescoordonn´ees(dansn’importequellebase)estlibre.Lesdeuxpremi`eres colonnes deMdsna´neestnosrbiltesesocelentoosconrdCdef(e1) etf(e2). Enrevenant aux vecteurs, (f(e1) = (1,1,3), f(e2) = (1,0,0)) est une base deI m(f). 1b. Rangdeg.L’applicationgsertpe´rnsdaeet´enesBparMecirtamemeˆmal,teesenepr´quirfdans Cudtidne´O.en:rg(g) =rg(M) =rg(g). x0 Noyau deg.Soitu∈Ker (g). Notons[u]B=y[t,.Coce´rpemmnemmede´f(u)]B=M∙[u]B= 0 z0 conduitausyst`emed´ej`ar´esoluci-dessus,portantsurlescoordonne´esdansBOn a :d’un vecteur du noyau. [u]B=z(0,−2,1), quel que soitz∈R. Unebase de ker(glrveeeapruceetdcno´nno)dtsekordodecoesnn´e (0,−2,1) dansB. Donck= 0∙a−2∙b+ 1∙c= (−1,0,1). Image deg.ruDemˆemequepof, une base deI m(ges)ontdeen´rlpasruetcevxuedsdees´enndoorcoes g(a) etg(beca`rgaˆnuesobte),M. Onobtient :g(a) = 1∙a+ 1∙b+ 3∙c= (5,4,3) etg(b) = 1∙a= (1,0,0). Expression deg.Soitu= (x, y, znotant [). Enu]B= (α, β, γ), comme (x, y, z) =α∙a+β∙b+γ∙c, on estconduitausyst`eme: α+β+γ=x β+γ=y γ=z x−y Cesyst`emedonne:[u]B=y−z. Ona d’autre part :[g(u)]B=M∙[u]Bdnenude´uqti[:e.Og(u)]B= z x+z M∙[u]B=x−ysorte que :. Deg(x, y, z) = (x+z)∙a+(x−y)∙b+(3x−3y)∙c= (5x−4y+z,4x−4y,3x−3y). 3x−3y
1c. Rangdeh.Le rang dehntltsenarenedgorte’implemaquelrepertcineat´rseh:rg(h) = rg(Mat(h,C,B)) =rg(MEn revanche la trace de) = 2.hpr´esentatricereel’dnumetioicnlerdpafin´estetnah, pourvuquelesbaseschoisiessoientlesmeˆmesaud´epartet`al’arrive´e.Repre´sentonsalorshdans la baseB. 1 1 21 1 11 2 4 3 On a :Mat(h,B,B) =Mat(h,C,B)× Mat(,I dB,C) =1 0 0×Donc= 11 1 .0 1 1 R 3 0 00 0 13 3 3 T r(hNoter que) = 5.T r(Mat(h,C,B))=T r(Mat(h,B,B)).
1d/e.rtcisee´nadtseamtes,ieququivaleneioseltneuqesellsatsmceriLrivainunstgeanerPetQ inversibles,rg(P∙M∙Q) =rg(Msinvariantsdesmartcise)venaE.rn´eedelchaninrmteartaltetedtnosec −1−1 semblables, ie :T r(P∙M∙P) =T r(M) et det(P∙M∙P) = det(Metd´du´eitllnulaemmoC.)antnreim signifie que le rang est< natsmceriiaardentutsevnineleugnarlit´e(etna:lanuleltnseo,´sqeiuavlaetq nonnullite´)dude´terminantestuninvariantdesmatrices´equivalentes,iedet(P∙M∙Q) = 0⇔det(M) = 0 et det(P∙M∙Q)= 0⇔det(M)= 0. Pour les matrices de passage : SoientB={b1,∙ ∙ ∙, bn}etD={d1,∙ ∙ ∙, dn}dxbeuesasund’rieleepsˆmmeceotcaveE. Lamatrice de passage de la baseBasabal`eDartpescieonlamatrd´efinitiMat(I d,B,Dacevutitna,e´ioatdeniapl’icpl)ed de´partlabaseBsaelebavie´a’rrt`aleDnodee´rracecirtaamtldintmereut.Aseltolocsenntnossclerdooneones´e desI d(bj) =bjdans lesdk:
b1∙ ∙ ∙bj∙ ∙ ∙bn 1n a∙ ∙ ∙a 1 1d1 Mat(Id,B,D) = , . .. 1n a∙ ∙ ∙a dn n n n j avecbj=a .dk. k k=1 3 Ici on obtient, en notantCla base canonique deR, etB´el’arep´enndolecle:e´cnon 1 1 1 Mat(Id,B,C0 1 1) = 0 0 1 Pour calculerMat(Id,C,B) il faut exprimer les vecteurse1e,2,e3de la base canoniqueCsur ceux,,ab,c, de la baseBa :. One1=,ae2=b−ae,3=c−b,d`u’o: 1−1 0 Mat(Id,C,B0 1) =−1 0 01 On remarque l’on a :Mat(Id,B,C)× Mat(Id,C,B) =I,o`uI3ecnutie´tlamatries×3, ieMat(Id,B,C) = −1 Mat(Id,C,B) =Itnauqramtamaleuql’deceriaticplapedtnoiinvacetie´emeblamˆud´easeatrapte.ernE a`l’arriv´eeestlamatriceunite´Ianivsumeamgriaud:t,ecttpeorrpi´et´esed´eduitd
Id Id 3 3 3 R−→R−→R B C B Mat(Id,B,C)Mat(Id,C,B) Id 3 3 R−−→R B B Mat(Id,B,B)=I=Mat(Id,C,B)×Mat(Id,B,C) Onaensuite,parlemeˆmetypedediagramme:Mat(f,C,B) =Mat(I dR,C,B)× Mat(f,C,C). 3 Exercice 3.—SoitAla matrice defdans une baseB= (a, b, ca :). On 0−1 [c]B[= 0f(c)]B= 0 1−1
