Universite de Nice L3 MASS annee Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance semestre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice L3 MASS, annee 2010-2011 Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2) Lec¸on 5 : Options barrieres Dans cette lec¸on, on va etudier l'exemple le plus simple d'option exotique, c'est-a-dire d'option dont la valeur n'est pas seulement fonction des valeurs atteintes par l'actif sous-jacent a l'echeance mais aussi de toutes les valeurs qu'il prend pendant la duree du contrat. De telles options s'appellent aussi des options dependant du chemin. L'etude des options barrieres sera aussi l'occasion de rencontrer la notion de temps d'arret, notion fondamentale du calcul stochastique. 1 Definitions et exemples Une option barriere (T, ?(ST ), L) est une produit derive sur un actif sous-jacent (St)t?T pour lequel le versement de la fonction de paiment ?(ST ) a l'echeance T est soumis au fait que l'actif sous-jacent ait franchi ou non, durant la duree de vie du contrat, vers le haut ou vers le bas, une barriere L donnee. Il existe une grande variete d'option barriere ; on peut ranger les plus courantes en deux categories : – les knock-out : l'option expire automatiquement lorsque le sous-jacent touche la barriere. – les knock-in : l'option n'est activee que si le sous-jacent touche la barriere.
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Universite de Nice L3 MASS, annee 2010-2011 Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2) Lec¸on 5 : Options barrieres Dans cette lec¸on, on va etudier l'exemple le plus simple d'option exotique, c'est-a-dire d'option dont la valeur n'est pas seulement fonction des valeurs atteintes par l'actif sous-jacent a l'echeance mais aussi de toutes les valeurs qu'il prend pendant la duree du contrat. De telles options s'appellent aussi des options dependant du chemin. L'etude des options barrieres sera aussi l'occasion de rencontrer la notion de temps d'arret, notion fondamentale du calcul stochastique. 1 Definitions et exemples Une option barriere (T, ?(ST ), L) est une produit derive sur un actif sous-jacent (St)t?T pour lequel le versement de la fonction de paiment ?(ST ) a l'echeance T est soumis au fait que l'actif sous-jacent ait franchi ou non, durant la duree de vie du contrat, vers le haut ou vers le bas, une barriere L donnee. Il existe une grande variete d'option barriere ; on peut ranger les plus courantes en deux categories : – les knock-out : l'option expire automatiquement lorsque le sous-jacent touche la barriere. – les knock-in : l'option n'est activee que si le sous-jacent touche la barriere.
- developpement du marche des options barrieres
- lieu necessairement au meme instant
- temps d'arret
- marche financier
- mesurabilite
- departement de mathematiques calcul
- option
Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques
L3MASS,anne´e2010-2011 Calcul Stochastique et finance (semestre 2)
Lec¸on5:Optionsbarrie`res
Danscettele¸con,onva´etudierl’exempleleplussimpled’optionexotiqued-ri-ta`’cse,tlandonptioed’o valeurn’estpasseulementfonctiondesvaleursatteintesparl’actifsous-jacent`al’´ech´eancemaisausside touteslesvaleursqu’ilprendpendantladur´eeducontrat.Detellesoptionss’appellentaussidesoptions d´ependantducheminsoptions´etudede.’Lerndioascc’oilssuaaressere`irrabndetooilrnatnerneoctemps d’arret, notion fondamentale du calcul stochastique.
1De´finitionsetexemples Uneoptionbarri`ere(T , ϕ(ST), Lodprtduiri´eesv´nuruitcauosfaj-s(ectn)seutenStlequel) pour t∈T le versement de la fonction de paimentϕ(ST´el’`a)hce´naecTest soumis au fait que l’actif sous-jacent ait franchiounon,durantladur´eedevieducontrat,verslehautouverslebas,unebarrie`reLeen´l.Idno existeunegrandevarie´te´d’optionbarri`ere;onpeutrangerlespluscourantesendeuxcat´egories: –les knock-out :utomireanexpptiolo’rr`ire.ecuehalabcejatontesels-ouoltnuqsrqitaemeu –les knock-in :stactli’vo´ptionn’eseuo-sajeeuqselilaherrbantceuctore`i.e + Par ailleurs, ces options s’appellent put, call, options binaires, etc, .. .,selon queϕ(S) = (K−S) , + ϕ(S) = (S−K) ,ϕ(S) =IS>K, etc,.Voici quelques exemples :. .. – Undown and out call(DOC) de prix d’exerciceK,ceane´hce´’dTtde`erreiarebLest le droit d’acheter l’actif sous-jacent au prixK`ladataeTsi celui-ci n’est jamais descendu en dessous deL pendantladur´eedevieducontrat. – Undown and in put(DIP) de prix d’exerciceKed,´’ce´haecnTetdebarri`ereLest le droit de vendre l’actif sous-jacent au prixKatelada`Tseulement si celui-ci est descendu en dessous deLpendant ladur´eedevieducontrat. – Unup and out put(UOP) de prix d’exerciceKnceae’´,dh´ecTereetabed`irrLest le droit de vendre l’actif sous-jacent au prixK`etadalaTi-lucesiamajn’ciiadse´apsse´elinveauLee´rpendantladu de vie du contrat. IlexistedemˆemedesoptionsDIC,UIC,UIP,DOPetUOC,maisaussidesoptionsavecdoubles barri`eresetbiend’autres.Souventlecontratpr´evoitunerebate,osmmpe`usocalecneee´yasnad,hsa l’option est out. Leprincipalint´erˆetdesoptionsbarrie`resestqu’ellessontmoinsch`eresquelesoptionsordinaires correspondantes,environsquatrefoismoinsch`eres,carelleslaissent`al’acheteur,etd’ailleursaussiau vendeur,unrisquere´siduel.ParexemplepouruneoptionDIC,lacouverturequ’uncalloffreparrapport `auneenvole´educoursdusous-jacentesttoutsimplementperduedanslecaso`ucelui-cin’apasfranchi labarrie`re.Maiscerisqueestjug´esuffisammentimprobableparceluiquiacceptedeleprendreoubienil conside`requesesconse´quencessontacceptablesauregarddel’e´conomiequ’ilprocure.Pourlevendeur, l’undesint´ereˆtestque,commelesoptionsbarri`eressen´egocientuniquementdegre´a`gre´(etnonsurles marche´sorganise´scommec’estlecaspourlesputetlescallordinaires),ilpeutprendreenge´n´eraldes margesplus´ele´ve´escarlemarch´edesproduitsOTC(overthecounter)estmoinstendu. Atitred’exemple,conside´ronsuneentreprisequivarecevoirdans6moisenEurosdesrevenusperc¸us enYenetquicraintqu’uned´epr´eciationduYenparrapporta`l’Eurodanslesmois`avenirviennemettre enpe´rilleniveaudecesrevenus.Ellepeutacheterunputa`6moisquiluidonneraledroitdevendredes YensenEurosa`unprixfixe´,parexemple´egaloul´eg`erementinf´erieuraucoursactuel.Maissil’entreprise ache`teuneoptionDIP,avecunebarri`ereLe´iriufnepecicerexd’ixpraureeuKcneiulalec,ˆoturebaein moinsch`ereetcelaluiassureralameˆmecouverturecontreunede´pre´ciationduYen,saufdanslecasou` a`aucunmomentdonn´edurantces6mois,lecoursnedescendendessousdeLcecascor.Maisaerpsno`d unesituationo`ulade´pr´eciationredoute´eestrest´eetr`eslimit´eeetlerisquer´esiduelpeutdoncˆetrejug´e sansgravit´e. Cesontdessituationsdecetypequiconduisentaude´veloppementdumarch´edesoptionsbarri`eres; celles-ciconstituentplusde10%del’activit´esurlemarche´deschangesparexemple.
2Mesurabilite´ettempsd’arreˆt Rappelons que si (Ω, P,F,itss´ee)apecnusebalirpboTune sous tribu deF, on dit qu’une v.a. X: Ω→Restmesurable`aaprrpaoptrT, ou qu’elle estT-mesurable, si pour toutx∈R,{X≤x} ∈ T.
1
Il est clair que siT={o/,Ω}, une v.a.T-rablmesun´eceestmeriassetsnoctnesietteanAenaptreituanet´ c de Ω,T={/o,, A, AΩ}, une v.a.Traleen´eusg´s.Plalo,anemtnm-ruseelbaaruaplaudeusvauxurle proposition suivante :
Proposition 1Lorsque(Ω, P,F)estunespetniibil´sfiecapeorabTune sous tribu deF, une v.a. est T-mesurable si et seulement si elle est constante sur les atomes de la tribuT.
Il est aussi utile de connaˆıtre la notion der´eeparunev.a.tirubneegdndont nous rappelons la de´finition: De´finition:SiX: Ω→Rest une v.a. sur (Ω, P,F), on appelleee´ibtrgneurdneparX,not´eeσ(X), la plus petite sous tribu deFppro`tlapraaraquelleXe´gsre´nelbaulP.iemaltsenestmesurX1,X2, .. .,Xm est une suite de v.a. sur (Ω, P,F´rdnegneubirtal,editsuteetrcpaeeev.a.,not´ee)σ(X1, X2, . . . , Xm) est la plus petite sous tribu deFapparrtropquel`alautesletoa..elvsXi,i= 1, . . . , m, sont mesurables.
Exemple :(eu´vtaaniOoerrcmaalheatr`teoussateicoo’uquepnXtfiltration () uneFt) telle t∈Tt∈T que, pour unt∈Tates,l´enndoedmoseFtdumotatses´e´esdofmrostnendω∈Ω dont les trajectoires X(ω’lnitsnat¨oc)ıncidentjusqu’`at. On se convainc facilement que les v.a.XtsontFt-mesurables et aussi Fs-mesurable pour touts≥tmaisXtsaptnemeeral´en´estgn’Fs-mesurable pours < t. Intuitivement lapropri´et´ed’ˆetreFt-mesurable pour une v.a. sur Ω signifie simplement,Ftontimareprtnnae´esfnrolti’ dontondisposea`l’instanttquecettev.a.ned´peneqdeued’lniofatrmndiotoonisndesopeca`snittnat, ou plus simplement qu’elle estuenncoa`l’instantt-d`aeirc’r,t-esa’lrinev´rpsioveutpanepeellesqu’m,ia distinguer(enleurdonnantdesvaleursdiff´erentes)deuxtrajectoiresquico¨ıncidentjusqu’`al’instantt maisnecoı¨ncideraientplusaudela. En particulier il est facile de voir que si (Ftmenu(.a.ationassoci´ee`a)etsallfirtSt) deCox-t∈Tt∈R Ross-Rubinstein,STest une v.a.FTmeorafeloteuqemed.a.vetuesur-mdemˆableϕ(ST`u)oϕest une fonction(d´eterministe)deRdansR. Remarque :utniuepnaylIopnueriotae´lahercmaneruou:pcietiredonattnpmroestiu’ilileqsubt (Xt) ,les deux tribusFtetσ(Xt´sgelaseL.paerim`ererepr´esentelamrofni’tnodnoit)onsonepant t∈T disposejusqu’a`l’instanttltsaedel’econrmatinfoisndsepondiotoontna’la`tsnitonarnE.´ealit´e Ft=σ(X0, Xδt, . . . , Xt−δt, Xt) et doncσ(Xt)⊂ Ftmais cette inclusion est stricte. Une v.a. qui estFt-mesurable,donnedoncne´cessairementlameˆmevaleura`deux´etatsdumondepourlesquelsXtco¨ıncide jusqu’`al’instanttnoeddsmutetaue´xourdeurpevalmˆemlsuesqleurponp,etiarliculaertecnodXt coı¨ncidea`l’instantt, alors qu’une v.a.σ(Xtme-dsneormuubda)e´xustatrueleda`ˆeamvamedoleelnn pour lesquelsXttsna’lnito¨c`adeciıntmaltemeˆelava`ruuxdeta´edutsndmoeiapsm,ecesasn´emensair pour lesquelsXttacno¨ıncide`al’insttniaus`paisma.rueire´tnatnatsn La notion deempstˆrte’draund’stin’ieleed´uqleohceotnauqu`uit,pareseseprodlasiofmrexpmelel passaged’unebarri`ere,sansquecelaaitlieune´cessairementaumˆemeinstantsurtouteslestrajectoires: en ce sens c’est une tempsae´laeirtovasauesquiptetaudomdn.eleurd´ependdel’´ D´efinition:Si (Ω, P,Futsepsenpecaabor)s´eebilit(Ftfiltration, une v.a.) uneτ: Ω→Test un t∈T tempsd’arreˆtsi et seulement si pour toutt∈T,{τ=t} ∈ Ft. Onpeutve´rifierquelacondition“pourtoutt∈T,{τ≤t} ∈ Ftneet´cderpe´a`al.teenalivqu´est”e L’exemplesuivantestl’undesexemplesdetempsd’arreˆtlesplusutilis´es: Exemple :Soit (Xt) unem.a. sur (Ω, P,F), (Ftratiafiltsocionaste´ees)A⊆Run sous t∈Tt∈T ensemblequelconque.Lav.a.suivantequirepre´sentenslectoiredanutearejtn´ree’d’etdanstinermirepel sous ensembleAt:ˆesdmprr’atseetnu Min{t∈T, Xt(ω)∈A}si{t∈T, Xt(ω)∈A} 6o/= τ(ω) := Tsinon Parcontreonvoitfacilementquelav.a.suivanten’estpasuntempsd’arrˆet: Max{t∈T, Xt(ω)∈A}si{t∈T, Xt(ω)∈A} 6o/= θ(ω) := Tsinon
Lacaracte´risationsuivantedestempsd’arreˆtestsouventtr`esutile:
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