Universite de Nice L3 MASS annee Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance semestre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice L3 MASS, annee 2009-2010 Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2) Lec¸on 4 : Credit et microcredit Cette lec¸on est une modeste excursion dans un vaste et important chapitre de la finance mathematique qui concerne le credit et les taux d'interets. L'interet est avant tout la remuneration, sous la forme de versements periodiques, d'un pret consenti par un preteur a un emprunteur. C'est probablement l'une des activites finacieres les plus anciennes, deja pratiquee dans la plus haute antiquite. Pour le preteur, l'interet est le prix de la renonciation temporaire a une consommation et pour l'emprunteur c'est le prix paye pour une jouissance immediate. Au fil du temps les interets, accuses d'appauvrir les uns au profit d'autres ont fait souvent l'objet d'interdiction ou de limitations. Ils sont perc¸us de fac¸on bien differente selon les cultures et selon les religions. Ainsi la Bible (dans l'ancien testament) et le Coran contiennent des passages qui condamnent fermement la pratique du pret a interets. Les choses ont ete codifiees dans la religion juive par l'interdiction de demander des interets. Cette meme regle a ete aussi longtemps en vigueur dans la religion catholique. Les protestants ont contribues a la levee progressive de son interdiction dans les pays europeens, restee pourtant en vigueur jusqu'en 1830. Pour l'islam, l'interdit subsiste et le developpement recent de banques islamiques fonctionnant sur des principes differents en est une consequence importante.
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Universite de Nice L3 MASS, annee 2009-2010 Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2) Lec¸on 4 : Credit et microcredit Cette lec¸on est une modeste excursion dans un vaste et important chapitre de la finance mathematique qui concerne le credit et les taux d'interets. L'interet est avant tout la remuneration, sous la forme de versements periodiques, d'un pret consenti par un preteur a un emprunteur. C'est probablement l'une des activites finacieres les plus anciennes, deja pratiquee dans la plus haute antiquite. Pour le preteur, l'interet est le prix de la renonciation temporaire a une consommation et pour l'emprunteur c'est le prix paye pour une jouissance immediate. Au fil du temps les interets, accuses d'appauvrir les uns au profit d'autres ont fait souvent l'objet d'interdiction ou de limitations. Ils sont perc¸us de fac¸on bien differente selon les cultures et selon les religions. Ainsi la Bible (dans l'ancien testament) et le Coran contiennent des passages qui condamnent fermement la pratique du pret a interets. Les choses ont ete codifiees dans la religion juive par l'interdiction de demander des interets. Cette meme regle a ete aussi longtemps en vigueur dans la religion catholique. Les protestants ont contribues a la levee progressive de son interdiction dans les pays europeens, restee pourtant en vigueur jusqu'en 1830. Pour l'islam, l'interdit subsiste et le developpement recent de banques islamiques fonctionnant sur des principes differents en est une consequence importante.
- interets sur la base du taux-court
- taux d'interet
- connaissance des prix des zeros
- ?t
- taux actuariel
- vigueur dans la religion catholique
- interets
- instituts de micro finance
- zero-coupon
Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques
L3MASS,anne´e2009-2010 Calcul Stochastique et finance (semestre 2)
Lec¸on4:Cre´ditetmicrocr´edit
Cettele¸conestunemodesteexcursiondansunvasteetimportantchapitredelafinancemathe´matique quiconcernelecre´ditetlestauxd’int´ereˆts. L’int´erˆetestavanttoutlar´emun´eration,souslaformedeversementsp´eriodiques,d’unpreˆtconsenti parunpr´eteura`unemprunteur.C’estprobablementl’unedesactivit´esfinacie`reslesplusanciennes,d´eja pratique´edanslaplushauteantiquite´.Pourlepre´teur,l’int´erˆetestleprixdelarenonciationtemporaire a`uneconsommationetpourl’emprunteurc’estleprixpaye´pourunejouissanceimm´ediate. Aufildutempslesinte´reˆts,accus´esd’appauvrirlesunsauprofitd’autresontfaitsouventl’objet d’interdictionoudelimitations.Ilssontper¸cusdefa¸conbiendiffe´renteselonlesculturesetselonles religions. Ainsi la Bible (dans l’ancien testament) et le Coran contiennent des passages qui condamnent fermementlapratiqueduprˆeta`int´ereˆts.Leschosesont´ete´codifi´eesdanslareligionjuiveparl’interdiction dedemanderdesint´erˆets.Cettemˆemer`eglea´et´eaussilongtempsenvigueurdanslareligioncatholique. Lesprotestantsontcontribu´esa`laleve´eprogressivedesoninterdictiondanslespayseurop´eens,rest´ee pourtantenvigueurjusqu’en1830.Pourl’islam,l’interditsubsisteetlede´veloppementre´centdebanques islamiquesfonctionnantsurdesprincipesdiff´erentsenestuneconse´quenceimportante.Quoiqu’ilensoit laquestiondel’inte´rˆetresteunsujetsensiblequiestencoresouventper¸cudiff´eremmentselonlesorigines culturelles des intervenants.
1 Capitalisationet actualisation Leprincipedebasedelacapitalisationestqu’unEuroaujourd’huin’estpase´gala`unEurodemain mais qu’il vaudra alors (un peu) plus : c’est ce que l’on appelle lavaleur temps de l’argent. Ainsi un montantB0calptnarude´ri´eepuneodδtmuluueintne´ˆrteccaB0ρ >0 et vaudra doncB0(1 +ρe)’la`ussi decettepe´riode.Onparled’selpmissteˆert´ineˆemltmee´semulutaccerˆeint´uel’qsrolteerp´deioch`aueaq donc,a`l’issuedenodes,p´eriT=nδt, il vaudraitB0(1 +nρulˆtrepeetouq,oalern´d`sionncaM.)e´gne,si lesinte´rˆetsaccumule´spendantunepr´erioderapportent`aleurtourdesint´erˆetsdurantlap´eriodesuivante et ainsi de suite : c’est la formule des´tnieˆreocstsopm´es. Ainsi le montantB0vaudra encoreB0(1 +ρ)`a 2 l’issuedelapremie`repe´riodemaisilvaudra[B0(1 +ρ)](1 +ρ) =B0(1 +ρ`exietmeeledeuad’la`ussi) n BT=B0(1 +ρrpe`)asnperiodes. Lasuitedequantite´sB0, Bδt, . . . , BTdontunncroepesgrnoisoe´gte´muqiremdeeorraifson(1+ρ) (alorsquedanslecasd’inte´rˆetssimplec’estuneprogressionarithme´tique).Sil’onde´signe,comme pre´ce´demment,partles instants successifs multiples deδt,t∈ {0, δt,2δt, . . . , nδt=T}´end’oilts,enfiti rattneme´cmoltelqru´eeembreleno rδt e= 1 +ρ nombre que l’on appelle leunitnoc’ixdautetrˆ´ent,´rtuepnosee´ecrirelasuitedBkδt=Btcomme une fonction exponentielle du temps rt Bt=B0e, avecB0ra´eeng´deteanrtopmietrepsnas,1aale`i´eghoisentcosvuil´te. C’estcette´ecriturequenousutiliseronsleplussouventparlasuite.Anoterquepourrassez petit, comme rδt1 2 e= 1 +rδt+ (rδt) +. . .ˆeertni´t,’lρeseutpff´dinereedtrδtrmessuivantsdud´velepoepemtnl,etse 2 ! limite´e´tantparfoisne´glige´s. rδt Tout comme un Euro aujourd’hui vaudraenu’drepei’laeuss`deioδt, la valeur actuelle d’un Euro −rδt−rδt d´elivr´eenδtvaut aujourd’huieqaautntiE.enefflt´ee, qui est (un peu) plus petite que 1, vaudra −rδt rδt (e)eusenrpe`=a1aleddnerpfitcanuu’sqor.Ldeioerp´empsenaccumulantavelruuaocrudstu desinte´reˆts,onparledecapitalisationiseelaprptedncom.lAreesi’vntiacund’efdve´’lsnanoitaula ˜ sa valeur actuelle au lieu de sa valeur future s’appelle l’actualisation. On noteCtlauactraeualva`ee´sil −rt ˜ l’instantttit´quandelae=0Cted-ri-ta`’cse,Ct:=e Ct. rt Anoterquelavaleuractualise´edelasuitedesBt=te ,∈ {0, δt, . . . , nδt}est la suite constante.
2Microcre´dit Lemicrocr´editestunensembledecontratspermettantd’offrirdetre`spetitscre´ditsa`desindividus tr`espauvrespourlesaidera`de´velopperdepetitesentreprisesoudesactivite´sge´n´eratricesderevenus.
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