Universite de Nice L3 MASS annee Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance semestre

Universit´e de Nice L3 MASS, ann´ee 2010-2011
D´epartement de Math´ematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2)
Le¸con 7 : Le mod`ele de Ho et Lee
1 Le mod`ele de Ho et Lee pour les z´ero-coupons
Onveutmaintenantintroduirel’´equivalent,pourlestauxd’int´erˆet,dumod`eledeCox-Ross-Rubinstein
pour les actions, c’est-`a-dire un mod`ele binomial. Comme il s’agit cette fois d’un mod`ele de taux, sa par-
ticularit´eestquelesvaleursdelamarcheal´eatoirenesontplusdes nombres maisdes courbes repr´esentant
la valeur “pr´esente” (`a t =0) d’un euro a` la date T.
TT 7→Z =Z(t,T),t≤T ≤T ,t∈T := [0..T ] ,δt:=T /n.max max δt maxt
L’id´ee de ce mod`ele est de g´en´eraliser au cas stochastique la relation Z(t,u)Z(u,v)=Z(t,v) pour tout
t ≤ u≤ v, appel´ee relation de rollover. Dans le cas de taux d’int´erˆet d´eterministes, il est en effet facile
de se convaincre que cette relation doit ˆetre satisfaite puisque le terme de gauche est pr´ecis´ement ´egal
a` la quantit´e a` investir a` l’instant t pour avoir en u le montant pr´ecis qu’il faut investir a` cet instant
pour avoir un Euros `a l’instant v. Mais ceci est aussi la quantit´e ´egale au terme de droite. Lorsqu’on
Z(t,v)
r´e´ecrit cette relation sous la forme, Z(u,v)= , on remarque que les valeurs de Z(t,u)etZ(t,v)Z(t,u)
´etant connues a` l’instant t, la relation permet de pr´evoir a` l’instant t la valeur de Z(u,v) qui, elle, est
inconnue a` cette date. Pour leur mod`ele stochastique Ho et Lee ont eu l’id´ee de transformer cette ´egalit´e
en une r´ecurrence stochastique
Z(t,v) u,vZ(u,v)= H . (1)tZ(t,u)
u,v
o`u les H sont al´eatoires.Plus pr´ecis´ement,on se donne une fonction d´eterministe (θ,x)7→ η(θ,x) (quet
l’on pr´esisera plus loin) telle que
TZT t TZ = η (θ(t+δt),X ), (2)t+δt t+δtt+δtZt
To`u θ (t):=T −t est le temps qui reste jusqu’`a la maturit´e T. L’id´ee de ce mod`ele est illustr´ee par la
figure suivante tir´ee de l’article original de Ho et Lee.
Comme dans le mod`ele de Cox-Ross-Rubinstein, Z prend i+1 valeurs, selon le nombre de “up”,iδt
1j = J (ω), ou` J = δJ +...+ δJ,(δJ ) ´etant des v.a. de Bernoulli ind´ependentes et de loii i 1 i i i≥1
δJ ; B(1,1− π ). On d´efinit la filtration F=(F ) , par F = {∅,Ω}, et pour k ≥ 1, F =i i t 0 kδtt∈T
1 Tnous respectons ici la tradition de choisir pourπ la probabilit´e queZ subisse un “down” car ceci correpond `a un “up”i t
des taux d’int´erets (puisque “quand les taux montent, les obligations baissent”). Attention, dans l’article de M. Leippold
et Z. Wiener ( http ://papers.ssrn.com/abstract=292225), il est fait le choix inverseP(X =0)=1−π.t
1+
σ(δJ ,...,δJ)=σ(X ,...,X ), avec X = δJ . Les fonctions al´eatoires Z :[t..T ] → R ,1 k δt kδt iδt i t max
TT 7→Z , sont choisiesF -measurables, et mˆeme σ(J )-measurables pour t =iδt.t it
Nousallonsmontrera`pr´esentquepourcemod`elelafonctionη doitn´ecessairementprendreuneforme
particuli`ere assez simple et donc que ce mod`ele ne d´epend en fait que de 3 param`etres.
1.1 Un model `a trois param`etres : π, δ,etn
1.1.1 Condition d’absence d’opportunit´e d’arbitrage
La premi`ere contrainte concerne l’absence d’opportunit´e d’arbitrage : pour tout T ∈ T, la valeur
Tactualis´ee de Z doit ˆetre une martingale. Pour cela on doit avoir pour tout t∈ [0..T −δt]t
1T ∗ T 1 t+δtZ =E ( Z |F)ou` Z .tt t+δt tRtRt
En utilisant (2), il vient
T ∗ t+δt T ∗ T T
Z = E (Z Z |F)=E (Z η(θ (t+δt),X )|F)t t+δt tt t t+δt t
∗ ∗T T T T= Z E (η(θ (t+δt),X )|F)=Z E (η(θ (t+δt),X )),t+δt t t+δtt t
Tpuisque X est ind´ependent ofF . Donc, en divisant par Z on obtient, puisque π =P[X = 0],t+δt t i it
1=π η(θ,0)+(1−π )η(θ,1) (3)i i
Tpour tout θ = θ (t +δt) ∈ [0..T −δt] . Il en r´esulte que π =(1−η(θ,1))/(η(θ,0)−η(θ,1)) nemax δt i
peut changer avec i et doit ˆetre constant (´egal a` π). De plus, en utilisant (2) pour t :=T−δt, on a aussi
T Tθ =θ = 0, ett+δt T
TT ZZ T−δtT T t T T1=Z =Z = η(θ (t+δt),X )= η(θ (T),X ),t+δt TT t+δt t+δt T−δt+δtZ Zt T−δt
pour X ∈{0,1}. Donc η(0,x) = 1 pour tout x∈{0,1}. D’ou` la proposition suivante :T
Proposition 1 Tout model de taux d’int´erˆet satisfaisant (2), avec les X ;B(1,1−π ) independents,t ii
est sans arbitrage si et seulement si η(0,x)=1pour tout x∈{0,1}, et si les π sont ´egaux et que leuri
valeur commune π satisfait la relation
1=πη(θ,0)+(1−π)η(θ,1). (4)
1.1.2 Condition binomiale
TA pr´esent, en utilisant le fait que pour t = iδt, Z ne d´epend que de J , on a le r´esultat suivant quiit
fixe la forme de la fonction η :
Proposition 2 Sous la condition de non arbitrage, pour tout θ∈ [0..T −δt] ,ona:δt
η(θ+δt,1)η(θ,0)η(δt,0) =η(θ+δt,0)η(θ,1)η(δt,1), (5)
et donc
θ1 η(δt,1)
δtη(θ,0) = , η(θ,1) =δ η(θ,0) , avec δ := > 1. (6)
θ η(δt,0)δtπ+(1−π)δ
Preuve : Cette formule est une cons´equence du fait que le mod`ele doit ˆetre binomial, c’est-`a-dire que,
Tpourt =iδt,Z ne doit d´ependre que de j =J (ω) et non des valeurs particuli`eresdeδJ (ω), ...,δJ (w)i 1 it
dont la somme vaut J (ω). Ceci n’est vrai que si l’arbre est recombinant, c’est-`a-dire si un up suivi d’uni
0 00down donne le mˆeme r´esultat qu’un down suivi d’un up. En d’autres termes, pour ω ∈Ωetω ∈ Ω tels
0 00 0 00 0 0que J (ω)=J (ω )=j et J (ω)=J (ω )=j +1, mais δJ (ω)=1etδJ (ω ) = 0 tandis quei i i+2 i+2 i+1 i+2
00 00 T TδJ (ω )=0etδJ (ω ) = 1, les valeurs de Z et de Z ne doivent pas d´ependre du fait quei+1 i+2 iδt (i+2)δt
0 00ω =ω ou ω =ω .
TPosons θ =θ et appliquons deux fois (2) :t+2δt
T TZ Zt+δtT tZ = η(θ,X )= η(θ,X )η(θ,X )t+2δt t+δt t+2δtt+2δt t+2δt t+δt t+2δtZ Z Ztt+δt t+δt
TZt= η(θ,X )η(θ,X ) , `a nouveau par (2)t+δt t+2δtt+2δt
Z η(δt,X )t+δtt
2t+2δt0 00 0 00 T TDonc comme J (ω)=J (ω )etJ (ω)=J (ω ), et comme Z , Z ,etZ ne d´ependent pasi i i+2 i+2 t+2δt t t
0 00du fait que ω =ω ou que ω =ω , il en sera de mˆeme de
η(θ+δt,X )η(θ,X )t+δt t+2δt
.
η(δt,X )t+δt
0 00L’´egalit´e des deux valeurs obtenues selon que ω =ω ou ω =ω , donne
η(θ+δt,1)η(θ,0) η(θ+δt,0)η(θ,1)
= .
η(δt,1) η(δt,0)
1A pr´esent, comme d’apr`es (4) on a η(θ,1) = (1−πη(θ,0)), donc (2) devient1−π
1 1
(1−πη(θ+δt,0)η(θ,0)η(δt,0) = η(θ+δt,0)(1−πη(θ,0))(1−πη(δt,0)). (7)
21−π (1−π)
1 1 1Posons x = , x = , et donc x = , l’´egalit´e (7) devientn n+1 1η(θ,0) η(θ+δt,0) η(δt,0)

π 1 1 1 π π
(1−π) 1− = 1− 1− .
x x x x x xn+1 n 1 n+1 n 1
Soit, en multipliant lesdeux termesparx x x , onobtient (1−π)(x −π)=(x −π)(x −π),ou, de1 n n+1 n+1 n 1
1 x −π π1mani`ere´equivalente,x =π+ (x −π)(x −π)=:x δ+γ, avec δ = etγ =π− (x −π)=n+1 n 1 n 11−π 1−π 1−π
1 1π(1−δ). Comme x = , on obtient η(δt,0) = . Et comme 1=πη(δt,0)+(1−π)η(δt,1),1 η(δt,0) π+(1−π)δ

1 1 1 1−πη(δt,0) η(δt,1)
δ = −π = = .
1−π η(δt,0) 1−π η(δt,0) η(δt,0)
nFinalement, en r´esolvant x =x δ+π(1−δ) il vient x =(1−π)δ +π, d’ou`n n−1 n
1 1 1
η(θ,0) =η(nδt,0) = = = ,θnx π+(1−π)δ δtn π+(1−π)δ
et
θ
δt1 π δ θ
δtη(θ,1) = − = =δ η(θ,0).θ θ
1−π δt δtπ+(1−π)δ π−(1−π)δ
2
2 Exemples de produits deriv´es de taux
Lorsqu’on souscrit un prˆet `a taux variable on peut souhaiter souscrire un contrat qui prendra en
charge le paiement des int´erˆets dus,ˆ au-del`a d’un taux maximal K. Typiquement, si l’int´erˆet r estT
+payable `a la date T pour l’emprunt d’un euro `a la date T −δt, ce contrat payera (r −K) . Ce contratT
s’appelle un caplet a` l’´ech´eance T au plafond K. Il donne une assurance contre une envol´ee du taux
(taux plafond) `a l’instant T. Pour le prˆet d’un Euro remboursable `a la date T et a` int´erˆets payablesmax
`a intervalle δt= un an, il convient de souscrire un Cap, qui est la somme de tous les caplets d’´ech´eance
T ∈]0..T ] . Comme le mod`elede Ho et Lee est un mod`elebinaire, un produit d´eriv´ede taux tel qu’unmax δt
tcapletsecouvre,`aladatet−δt,parunportefeuillecomportant`alafoisunplacement(nonrisqu´e)enZt−δt
t+δt
et en placement (risqu´e) en Z . Ceci se calcule de mani`ere similaire au cas des options pour un mod`elet−δt
∗T˜binaire d’action et, comme les processus (Z ) sont, pour tout T ∈T, des (F,P )-martingales, ont∈[0..T]t
retrouve pour la valeur du portefeuille de couverture
T ∗ TCaplet =E (Caplet |F )/(1+r ) (8)t−δt tt−δt t

T ∗ T Bs(et plus g´en´eralement, pour tous s≤t, Caplet =E Caplet |F ).ss t Bt
Acot´edesCapscompos´esdecaplets,ilexistedemˆemedesFloorscompos´esdefloorlets,quiprot`egent
d’une chuteˆ du taux (taux plancher), dont le prix se calcule de mani`ere analogue puisqu’il s’agit alors
d’un Put (ou d’une famille de Puts). Enfin il existe ´egalement un grand nombre d’autres contrats d´eriv´es
de taux, comme les Collars (achat d’un Cap et vente simultan´ee d’un Floor de mˆeme caract´eristiques),
Swaps (´echange d’un taux variable contre un taux fixe), Swaptions (option sur Swap) ou FRA (Forward
Rate Agreement)...
3Remarque : Le mod`ele de Ho et Lee´etudi´e ici est un mod`ele discret. Les versions continues correspon-
dantesappartiennent`alafamilledesmod`elesHJM(pourHeath,JarrowetMorton)etsontdesmod`eledu
taux forwardinstantan´ef(t,T) et