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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice, Annee 2007-2008 NOM : . Departement de Mathematiques, LICENCE MP, 2e annee Prenom : . Probabilites Controle Continu Final - Session de Mai 2008 Mardi 20 mai 2007 13 :00 - 15 :00 Calculatrice autorisee. Document autorise : une feuille A4 (recto-verso) ecrite de votre main Exercice 1 ((5 points)) Soient X et Y deux v.a. de meme loi, de fonction de repartion FX et FY , avec FX (x) := 11+e?x . 1. Calculer la densite fX de X . fX(x) = 2. Montrer que fX(?x) = fX(x) ; en deduire E(X). E(X) = 3. On suppose que les v.a. sont couplees par la copule C(u, v) = uvu+v?uv . Calculer la fonction de repartition FZ du vecteur aleatoire Z := (X,Y ). FZ(x, y) =

normale d'esperance

estimateur au maximum de vraissemblance ?n de ? pour l'echantillon x1

t4 de la classe v4

densite fz du vecteur aleatoire

estimateur ?n

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Universit´edeNice,Anne´e2007-2008 D´epartementdeMathe´matiques,LICENCEMP,2eanne´e

NOM : Pre´nom:

Probabilite´s ControˆleContinuFinal-SessiondeMai2008 Mardi 20 mai 2007 13 :00 - 15 :00

. .

Calculatriceautoris´ee.Documentautoris´e:unefeuilleA4(recto-verso)e´critedevotremain

Exercice 1 ((5 points))SoientXetYuedontiaredofcnitnoed´rpexv.a.demˆemeloi,FXetFY, avec 1 FX(x) :=−x. 1+e 1.Calculerladensit´efXdeX.

2. Montrer quefX(−x) =fX(xd´enuieder);E(X).

fX(x) =

E(X) =

uv 3.Onsupposequelesv.a.sontcouple´esparlacopuleC(u, v) = . Calculer la fonction de u+v−uv r´epartitionFZuvecdlae´etruertaioZ:= (X, Y).

FZ(x, y) =

4. Les v.a.XetYesind´epsont-ell?neadtnse

5.Calculerladensit´efZdree´laiotacevuruetZ.

fZ(x, y) =

θ Exercice 2 ((10 points))Soit (Xi)i=1,2,...et (Yi)i=1,2,...deux suites de v.a., avecXi= +σYiu`o,θ i etσsont des nombres positifs. 1. On suppose que les v.a.Yisontr´ntcede´r-see’c(setiu-d`at-eseirE(Yi) = 0 etV ar(Yi)=re.D1)ete´nimr µi:=E(Xi),V ar(Xi) etσi:=V ar(Xi).

µi:=E(Xi) =

V ar(Xi) =

σi:=

V ar(Xi) =

2.Onsupposedore´navantquelesYisuivent une loi normale. Quelle est la loi deXi? Indiquer sa densite´fXi?

Xi❀

fXi(x) =

3. Montrer que la vraissemblanceLlitnnold’´elhaecX1,. . .,Xnegalest´e`a  n X 1 1 L(x1, . . . , xn, θ, σexp) = −xi− 2 n (σ2π) 2σ i=1

4. Calculer la log-vraissemblanceldecetnollhce´itna

l(x1, . . . , xn, θ, σ) =

!  2 θ i

∗ 5. Pourx1, . . . , xn, σmaxierlerouv´estxﬁmumθde la fonctionθ7→ϕ(θ) :=l(x1, . . . , xn, θ, σ) et P P n n ∗1x1 ve´riﬁerqueθ,o`u=sn:= . i=1i sni=1i

∗ θ(x1, . . . , xn) =

ˆ 6. Donner l’estimateur au maximum de vraissemblanceθndeθntnahollip´’ceuolrX1, . . . , Xn.

ˆ θn=

ˆ ˆ 7. CalculerE(θn). L’estimateurθnt-ilbiais´e?es

ˆ 8. Calculer Var (θn)

ˆ E(θn) =

ˆ L’estimateurθn

ˆ Var (θn) =

biais´e.

2 ˆ ˆ 9. Calculerkθn−θkuqleiuer´dde.nEreuatimst’eθnconverge versθearno;ppleeluqlesae´ir L2 harmonique diverge : limn→∞sn= +∞

ˆ 2 k k= θn−θL2

Exercice 3 (5 points)Peanuts 1. SoitUreriec;´py2etrt-e´ac00tencuen1e´eran’oersmpav.lae.dUsous la formeU=a+bZu`o,Z −+ estunev.a.normalecentr´ee-re´duiteettrouverdeuxnombrezetztels que

−+−+−+ {U∈]uu , ]}={Z∈]zz , ]},o`uu= 101 etu= 103

− z=

−+ 2.Al’aidedelatablefourniecalculerprobabilit´ep:=P({U∈]uu , ]})

Soit (Uk)k=1..1000 V4=]101,103] ?

p:=P({U∈]101,103]}=

+ z=

un1000-e´chantillondeN(100,2eﬀtclte’lese;)uqueiqthifor´et4de la classe

3.Quelestl’eﬀectifthe´oriquet5de la classeV5=]103,+∞[ ?

t4=

t5=

4.Quelssontleseﬀectifsthe´oriquest1ett2des classesV1=]∞

t1=

Quelestl’eﬀectifth´eoriquet3de la classeV3=]99,101] ?

,97],V2=]97,99] ?

t2=

t3=

5.Undispositifestcon¸cupouremballerdescacaouettesenpaquetsde100g.Onsupposequele poids des paquets produits suivent une loiN(100,oduitsonaquetsprleseoasbre´vp0001ruS.)2 eﬀectifssuivantspourcesmeˆmesclassesV1=]∞,97],V2=]97,99],V3=]99,101],V4=]101,103], V5=]103,+∞[, les eﬀectifs respectifs suivants : 73, 235, 391, 233, 68. 2 Au moyen d’un test duχttecretejeruoremﬁronecld-intienviulauseese,oth`ehyp,coα?= 10%

∗ Votre statistique :χ=

Il convient donc

l’hypoth`ese

Loi Normale

:probabilite´queZ❀N(0,`erua1)itsof´inieeru1+u2.

LoisduChi-deux:Leslignescorrespondentaunombrededegr´esdeliberte´,entre1et9.Chaque colonnecorrespond`aunemeˆmeprobabilit´ed’ˆetresup´erieura`lavaleurindiqu´eedansletableau.

Voir