Universite de Nice Annee Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques
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Niveau: Supérieur
Universite de Nice Annee 2011-2012 Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques Cours 4 : Noeuds, cols, foyers et centres Jusqu'ici nous avons etudie des equations differentielles comme modeles pour la dynamique d'une quantite unique evoluant au cours du temps. A present nous allons etudier des systemes de deux equations differentielles modelisant la dynamique de deux quantites (par exemple les effectifs de deux populations) evoluant avec le temps en interaction l'une avec l'autre. Systemes de deux equations differentielles On considere le systeme de deux equations differentielles suivant : { x? = f(x, y) y? = g(x, y) (1) ou f et g sont deux fonctions que l'on supposera lisses (c'est-a-dire continument derivables). On appelle solution du systeme (1) un vecteur (x(t), y(t)) dont les deux coordonnees sont des fonctions du temps qui verifient le systeme differentiel, c'est-a-dire telles que l'on a x?(t) = f(x(t), y(t)) et aussi y?(t) = g(x(t), y(t)). On appelle condition initiale la valeur de la solution a l'instant initial (que l'on choisit souvent egal a 0), c'est-a-dire le vecteur (x(0), y(0)).
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Universite de Nice Annee 2011-2012 Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques Cours 4 : Noeuds, cols, foyers et centres Jusqu'ici nous avons etudie des equations differentielles comme modeles pour la dynamique d'une quantite unique evoluant au cours du temps. A present nous allons etudier des systemes de deux equations differentielles modelisant la dynamique de deux quantites (par exemple les effectifs de deux populations) evoluant avec le temps en interaction l'une avec l'autre. Systemes de deux equations differentielles On considere le systeme de deux equations differentielles suivant : { x? = f(x, y) y? = g(x, y) (1) ou f et g sont deux fonctions que l'on supposera lisses (c'est-a-dire continument derivables). On appelle solution du systeme (1) un vecteur (x(t), y(t)) dont les deux coordonnees sont des fonctions du temps qui verifient le systeme differentiel, c'est-a-dire telles que l'on a x?(t) = f(x(t), y(t)) et aussi y?(t) = g(x(t), y(t)). On appelle condition initiale la valeur de la solution a l'instant initial (que l'on choisit souvent egal a 0), c'est-a-dire le vecteur (x(0), y(0)).
- isocline x?
- solution exacte
- trajectoire
- champ
- loupe au voisinage de l'equilibre
- systeme differentiel
- vecteurs vitesse
- regions du plan delimitees par les isoclines
- equilibre
Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Cours 4 : Noeuds, cols, foyers et centres
Ann´ee2011-2012 Syst`emesDynamiques
Jusqu’icinousavonse´tudie´des´equationsdiff´erentiellescommemod`elespourladynamiqued’une quantit´eunique´evoluantaucoursdutemps.Apre´sentnousallons´etudierdessyste`mesdedeuxe´quations diff´erentiellesmod´elisantladynamiquededeuxquantite´s(parexempleleseffectifsdedeuxpopulations) e´voluantavecletempseninteractionl’uneavecl’autre.
Syst`emesdedeuxe´quationsdiff´erentielles Onconside`relesyst`emededeux´equationsdiff´erentiellessuivant: 0 x=f(x, y) 0 y=g(x, y)
(1)
ou`fetgsont deux fonctions que l’on supposeralissesesc’`at-ir-donecˆnitnemue´dtavir.)lbse( On appellesolution(ruetcevnu)1(et`emusysdx(t), y(tsdlentdo))no´neessuecxoodrnctionsontdesfo 0 du temps quie´vefiirnt’onaeterid-aleuqselleltiener-`st’e,cme`eff´dilestsyx(t) =f(x(t), y(t)) et aussi 0 y(t) =g(x(t), y(t)). On appellecondition initialeruedalosulitnoa`lavaleonl’ue(qlaitinitnatsni’l choisitsouvente´gala`0),c’est-`a-direlevecteur(x(0), y(0)). Parexemplepourlesyste`mediff´erentielsuivant,appel´eoscillateur harmonique, 0 x=−y (2) 0 y=x
onpeutv´erifierfacilementque,pourtouteslesvaleursder≥0 etθ∈[0,2π[, le vecteur (x(t), y(t)) = (rcos(t−θ), rsin(t−θtioiocdnitlainine(2))estunesolutionysude`tsteemssuaueiqsolatilulaon,0) est (x(t), y(t)) = (2cost,2 sint). Commepourles´equationsdiff´erentiellesuniques,onpeutrarementcalculerlessolutionsexactesd’un telsyste`mediffe´rentiel.Mais,commepourlese´quationsdiff´erentielles,onpeutmontrerquepourassurer l’existenceetl’unicite´dessolutionsdusyst`eme,e´tantdonne´euneconditioninitiale(x(0), y(0)), il suffit que les fonctionsfetgralrclecueutdonc,sses.Onpdtsevaioa`´dfeua’´tlenssniefid´uiiltneiosnoitauqeq dessolutionsexactes,chercher`ade´crirelecomportementdessolutionssoitparunee´tude qualitative, soit encalculantdessolutionsapproch´ees(ou,mieuxencore,lorsquec’estpossible,encombinantlesdeux approches).
Trajectoires et champs de vecteurs Onpeutrepre´senterge´om´etriquementlessolutionsdusyste`mediff´erentieldedeuxfa¸consdiffe´rentes: soit on trace les graphes de chacunes des deux composantes de la solution comme des fonctions du temps, soit on trace la courbe image det→(x(t), y(t)) qui est unebruorapee´mae´rtecdans le plan (x, y) qu’on appelle unetrajectoire.eme`stsydu Dans le cas de l’oscillateur harmonique, les trajectoires sont des cercles concentriques (pourquoi?). Onsaitquela“vitessedede´placement”surlacourbesolutionestdonn´eeparlevecteur vitesseque l’on peutcalculersimplement`al’aidedesde´riv´eesdesdeuxcomposantesdelasolution 0 x(t) V=. 0 y(t)
0202 A noter que plus sa longueurkVk=x(t) +y(t) estgrande et plus la courbe est parcourue rapidement parladynamiqueassoci´eeausyst`eme. Bienqu’onneconnaissepaseng´ene´rallestrajectoires,onconnaitne´anmoinsleursvecteurstangent V(x, ype´nelratsyseme`uitpu’sqesilontd)neottuopniitlereneid´ffV(x, y) = (f(x, y), g(x, y)). Au syste`mediff´erentielcorresponddoncunchamps de vecteurseer´srapaetm´uocssebr.naleltEdanslep t7→(x(t), y(tedifft`emntie´ereltseslnoebtsocrusoui)q)itulostnsysudsnogeanesntchenunaceledsru pointsauvecteurdecoordonne´es(f(x, y), g(x, y)). Etudequalitative,isoclines,e´quilibres L’e´tude qualitativedusenaxemdnraitdru’e,unusyst`emisno`ets`tsycemeerinap,`´eadrmteaper¸cudu champs de vecteurs’dne´ddereuianfil’alluredes trajectoires. Pour cela on remarque que sif(x, y) = 0 en un point, le vecteur du champs de vecteur sera vertical encepoint,etdemˆemesig(x, yquatd’´eionqteudeiuruebalocizortaonOnl.d´en0=)sli,hareg(x, y) =
1
0 0,appele´eisocliney= 0, est une courbe sur laquelle les solutionst7→(x(t), y(t)) ont unetangente 0 horizontaletionemmˆDe.uobrlecaqeaude´’f(x, y´,eaeplp)e=0isoclinex= 0, est une courbe sur laquelle les solutionst7→(x(t), y(t)) ont unetangente verticale. Les points d’intersections des isoclines sontlese´quilibres(x∗, y∗)st`edusy-tse’cemlerid-a`tsinpoeselqulstetaarejtcioersiused’untelpoint 0 0 reste en ce point pour toutt(car six(t) ety(t) sont nuls,x(t) ety(t) sont constants). Danschacunedesre´gionsdupland´elimit´eesparlesisoclines,lesquantit´esf(x, y) etg(x, y) sont de signeconstantetonpeutdoncsche´matiserladirectionduchampsdevecteursparunefle`chedel’undes quatres types suivants: vers la droite et vers le haut (sif >0 etg >0), vers la droite et vers le bas (si f >0 etg <0), vers la gauche et vers le haut (sif <0 etg >0), ou vers la gauche et vers le bas (si f <0 etg <0). 0 0 Larepre´sentationdesdeuxisoclinesy= 0 etx0=sed,s(rel’`aqu´eibiledisitnosrceniet)etinessocl dusche´madesfle`chesduchampsdevecteursconstituentl’´etude qualitativestsyme`eo`d’’ouluopnarrud leplussouventd´eduire,enutilisantlapropri´ete´qu’ontlestrajectoiresdenejamaissecroiser,l’allure des solutions en fonction de leur condition initiale (x(0), yneuauctie´nucied’lonisraenu’rqtenoA.))0( trajectoiresnetraverseun´equilibre.
Calculdesolutionsapproch´ees Commedanslecasd’une´equationdiffe´rentielleunique,lam´ethoded’Eulerpermetdecalculerune solutionapproch´ee(˜x(t), y˜(turaptnassap))(´enndontoinpx0, y0snsy`tmep)uourntiel.L’ediff´eree´die est ici encore de suivre le champ de vecteur durant un pas de tempshsseas´pot,tipeezedsiups,pu recommencer durant un second pas de tempsheueq,tsnniiountvano`aeauveculpmaheveduetcpuar l’onaatteint.L’algorithmeestlesuivant:ond´efinitunesuitedepointsduplandecoordonn´ees(x0, y0), (x1, y1) , ...(xn, yn), ... par xn=xn−1+hf(xn−1, yn−1) (3) yn=yn−1+hg(xn−1, yn−1) etonreliecespointsentreeuxdefa¸con`aformerunelignebris´ee.Sihest suffisamment petit, cette ligne bris´eefournituneapproximationdelasolutionexacte.Eneffetonpeutmontrerquesih= (t−t0)/n, alors la suite (xn, yn) converge, quandntend vers l’infini, vers la valeur exacte de la solution (x(t), y(t)) a`l’instantt≥t0. Onpeutaussiv´erifierquecetalgorithme,commedanslecasd’unee´quationdiffe´rentielleunique, estunalgorithmed’ordre1(c’est-`a-direquel’erreurtendversz´erocommelepashpiueteuqerˆtte) remplac´epardesalgorithmesplusperformants,notammentdesalgorithmesd’ordrepluse´l´ev´e.Parmiles plusutilise´ontrouvel’algorithmedeRunge-Kuttad’ordre4.
Naturedese´quilibres:classificationdePoincare´ HenriPoincar´eaintroduituneclassificationdeschampsdevecteursline´airesduplanquiregroupe ceschampsenunnombrefinideclassesselonl’aspectge´ome´triquedelafamilledestrajectoiresdu champs.Cetteclassificationesttre`simportantecaronl’utilisenonseulementpourl’e´tudedechamps lin´eairesmaissurtoutpourl’e´tudedechampsnonlin´eairesdontonapproximel’alluredestrajectoires auvoisinagedespointsd’´equilibreparcelledestrajectoiresdulin´earise´duchampscommenousallons le voir ci-dessous. Unsyste`mediffe´rentiel(1)estditlin´eaierlorsque les deux fonctionsfetgonsres´eailsniitnoofcndtse dexet deyieictrmameorsfoussrolatirce´’slI.avtn:elledelafa¸consui 0 x ab x = 0 y cd y
o`uAtameeciree´r2elleunst×2. On supposera queAestnnoe´´n´dgee´eern0euqerisaptse’c’,-d`at-es une valeur propre. On noteraλetµles deux valeurs propres deAu’ellesslorsqnnotesellee´rtnoaerot 2 α±iωces deux valeurs propres lorsqu’elles sont complexes. On sait qu’il existe une base deRdans laquellel’applicationlin´eaireassoci´ee`aAa pour matrice l’une des suivantes : λ0λ1α ω 0µ0λ−ω α
En notantUetVmeeenlesesy`tesdann´eordoescoldrouesr´de´eistaseli,esabettecsnUetV: dans λt µtλt le premier cas on a (U, V) = (e U0V, e0), dans le second (U, V) =e(U0+tV0, V0) et enfin dans le troisie`me Uλtcosωtsinωt U0 =e . V−sinωtcosωt V0
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