Universite de Nice Annee Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques
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Niveau: Supérieur
Universite de Nice Annee 2011-2012 Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques Cours 5 : Systemes de Lotka-Volterra Un modele proie-predateur Le modele que nous etudions ici a ete propose par Volterra (et independemment par Lotka) en 1926 dans un ouvrage intitule “Theorie mathematique de la lutte pour la vie” qui est probablement le premier traite d'ecologie mathematique. Volterra avait ete consulte par le responsable de la peche italienne a Trieste qui avait remarque que, juste apres la premiere guerre mondiale (periode durant laquelle la peche avait ete nettement reduite) le nombre de requins et autres predateurs impropres a la consommation que l'on relevait involontairement dans les filets parmi les poissons consommables etait nettement superieur a ce qu'il avait ete avant guerre alors que la population des sardines que l'on avait beaucoup moins peche, semblait avoir diminue. Ceci apparaissait comme un paradoxe que Volterra parvint a expliquer (voir ci-dessous) avec le modele qu'il proposa et qui porte aujourd'hui son nom. Notons respectivement x(t) et y(t) la taille des deux populations a l'instant t, la seconde (ici des requins, appeles les predateurs) se nourissant de la premiere (ici des sardines, appeles les proies). On fait, sur la dynamique de ces deux populations plusieurs hypotheses, inevitablement simplificatrices, qui vont nous permettre d'ecrire le modele : on suppose d'une part que les proies disposent de nouriture en quantite illimitee et que seuls les predateurs s'opposent a leur croissance.
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Universite de Nice Annee 2011-2012 Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques Cours 5 : Systemes de Lotka-Volterra Un modele proie-predateur Le modele que nous etudions ici a ete propose par Volterra (et independemment par Lotka) en 1926 dans un ouvrage intitule “Theorie mathematique de la lutte pour la vie” qui est probablement le premier traite d'ecologie mathematique. Volterra avait ete consulte par le responsable de la peche italienne a Trieste qui avait remarque que, juste apres la premiere guerre mondiale (periode durant laquelle la peche avait ete nettement reduite) le nombre de requins et autres predateurs impropres a la consommation que l'on relevait involontairement dans les filets parmi les poissons consommables etait nettement superieur a ce qu'il avait ete avant guerre alors que la population des sardines que l'on avait beaucoup moins peche, semblait avoir diminue. Ceci apparaissait comme un paradoxe que Volterra parvint a expliquer (voir ci-dessous) avec le modele qu'il proposa et qui porte aujourd'hui son nom. Notons respectivement x(t) et y(t) la taille des deux populations a l'instant t, la seconde (ici des requins, appeles les predateurs) se nourissant de la premiere (ici des sardines, appeles les proies). On fait, sur la dynamique de ces deux populations plusieurs hypotheses, inevitablement simplificatrices, qui vont nous permettre d'ecrire le modele : on suppose d'une part que les proies disposent de nouriture en quantite illimitee et que seuls les predateurs s'opposent a leur croissance.
- classification de poincare des champs lineaires du plan
- taux de disparition des proies
- oscillation
- oscillations du taux d'emploi de la main d'oeuvre et de la part des salaires dans le revenu national
- champ au voisinage
- trajectoires dans le plan
- salaire moyen
- plan de phase
Chapitre 5
Martingales,arbitrageetcompl´etude
1 Lanotiondemartingalejoueaujourd’huiunroˆlecentralenfinancemathe´matique;ellee´taitde´ja pr´esentedanslath`esedeLouisBachelieren1900maisellen’acommence´a`eˆtre´etudi´eesyst´ematiquement parlesmathe´maticiensquevers1940,notammentparP.LevyetJ.L.Doob,etplustardparl’e´colede probabilit´esdeStrasbourg,notammentP.A.Meyer.Cen’estqu’a`lafindesanne´es70etaude´butdes anne´es80(dansuns´eriesd’articlesdeM.J.Harrison,D.M.KrepsetS.R.Pliska)quel’onacommence´ `acomprendrelesliensentrelesnotions´economiquesoufinancie`resd’absenced’oportunite´d’arbitrageet decompl´etudedumarche´etlanotionmath´ematiquedemartingale.Cesontcesliensquenouse´tudions icia`traversnotammentdeuxr´esultatsimportantsparfoisappel´eslesdeuxthe´ore`mesfondamentauxde lafinancemath´ematique.
5.1 Martingales Intuitivement,unemartingaleestunemarcheale´atoiren’ayantnitendancehaussi`erenitendance baissie`re,savaleura`chaqueinstant´etant´egalea`l’espe´rancedesesvaleursfutures.Onutilisedes marchesale´atoiresayantcettepropri´et´epourmod´eliserleprixdesactifsfinancierscarunprixdemarch´e estunnombresurlequeldeuxparties,cellequiache`teetcellequivend,tombentd’accord;sileprix avaitunetendance`alahausse,levendeurn’auraitpasaccept´elatransactionetinversements’ilavait unetendancea`labaissec’estl’acheteurquil’auraitrefuse´.Doncilestnatureldesupposerqu’unfair-pricene’naleC.elagnitaremedt´´eriopprirpeenavrpxieuelentqllemnenutraiatacsaes,rlnolte´’aal dumondequiser´ealise,ilaugmenteeffectivementoubiendiminue.Maislorsquel’onprendencompte l’ensembledes´etatsdumondepossibles,ilestraisonnabledesupposerquesavariationespe´re´eestnulle. Biensˆur,lesve´ritablesvariationsduprixquiinterviendrontdanslare´alite´,etquide´pendentdel’e´tatdu monde,serontcertainementnonnulles.D’ailleurs,c’estparcequelesdeuxpartiesn’ontpaslesmˆemes anticipationssurl’e´tatdumondequivaser´ealiserquelatransactionalieu. De´finition:Soit (Ω,T, Pnu)apseeistiotilis´efinceprobabF:= (Ftfiltration de Ω. On dit) une t∈T qu’unemarcheale´atoireM:= ( Mt)t∈[0.tuneF-martingale(mtg) siet seulement si .T]δest pour touss≤t,Ms=E(Mt|Fs).(5.1)
Observonsqu’ilre´sultedelad´efinitiondel’esp´eranceconditionnellequ’uneF-martingale est toujours unemarcheal´eatoireFtoutuq,eopru`--aider´tpada-tse’c,eet, la v.a.MtestFt-mesurable. Lapropositionsuivantedonnetroisautrescaract´erisationsdelaproprie´te´demartingale,souvent utiles,quide´coulent´egalementdespropri´et´esdel’esp´eranceconditionnelle.OnutiliselanotationEsX:= E(X|Fs). Proposition 5.1´te´usserpseirpot´onuieqanivssteaveltnseL 1.Mest une martingale. 2. Pourtouts∈T,Ms=Es(Ms+δt). 3. Pourtouts∈T,Es(δMs+δt) = 0u,o`δMs+δt:=Ms+δt−Ms. 4. Pourtouts≤tdansT,Es(Mt−Ms) = 0.
1 Voir le livre de Nicolas Bouleau,rahce´fisancneisrMartingalesetm, Editions Odile Jacob, 1998 23
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´ CHAPITRE 5.MARTINGALES, ARBITRAGE ET COMPLETUDE
Preuve :´itee´lipaorrpment2etse´evidemniartne1e´te´irproap:le”irlacuirnoc”aritnots´dmetunenfaiO 2 est vraie, on a : Es(Ms+δt−Ms) =Es(Ms+δt)−Ms=Ms−Ms= 0. D’o`ulaproprie´t´e3.Sicelle-ciestvraie,alors t−δt t−δt t−δt X XX Es(Mt−Ms) =Es( (Mτ+δt−Mτ)) =E(δMτ+δt) =Es(Eτ(δMτ+δt)) = 0. τ=s τ=s τ=s D’ou`laproprie´te´4.Onve´rifieenfinquelaproprie´t´e4implique`asontourlaproprie´te´1carMs−Es(Mt) = Es(Ms−Mt) = 0.✷ Exemples : 1. Lepremier exemple est celui de lap-marche de Wiener (Wtp)aqueourlnapalleoe´drtinfi:noi t∈T E(δWt) =p δt+ (1−p)(−δt) = (2p−1)δt. 1 Doncc’estunemartingale(parrapport`alafiltrationquiluiestassoci´ee)sietseulementsip= . 2 2.Lesecondexempleestceluidelamarcheale´atoiredeCox,RossetRubinstein(St)quieom´dlesi t∈T leprixd’unactiffinanciera`l’instanttrobaunepuverrtrouoP.´teibilp=P(St+δt/St=u) telle quesavaleuractualise´esoitunemartingale,onproce`dedelafa¸consuivante:sird´esigneletaux −rt ˜ ˜ d’escomptemone´taire,suppos´econstant,etSttualixac,is´eelrpSt:=e St, on a les relations suivantes que doit satisfairep: ˜ ˜ −r(t+δt)−r(t+δt)−rδt Et(St+δt) =eE(St+δt) =e(pStu+ (1−p)Std) =e(pu+ (1−p)d)St. ˜ rδt DoncStest uneF-martingaele pourvu quepu+ (1−p)d=ebalitie´irqseu.outrreOnobprlave neutreintroduitepoure´valuerleprixd’options: rδt e−d p=. u−d Danslemod`eleCRR,laprobabilite´risqueneutreestdoncl’uniqueprobabilit´epourlaquellela valeuractualis´eedel’actifsous-jacentestunemartingale. 3.Letroisi`emeexempleestceluid’unemartingaleferme´eparunev.a.:siΦestunev.a.surun espaceprobabilis´emunid’unefiltrationF= (Fteriotae´laehcramla,)(Xtiepa´efindr) t∈Tt∈T Xt:=E(Φ/Ftse,t)lagneD.emenuitractrun,iorcpastonu’eno,dntiuqen´eralefa¸cong´F-martingale Mtest une martingale.arape.valferm´esΦtllei’´esriecMt:=E(Φ/Ft) pour une certaine v.a. Φ. C’estunefac¸onnaturelledeconstruireunemartingaleetc’estcequenousavonsfait`atraversla ˜ fomule fondamentale pour la marcheCt. Nous avons vu en effet que r(T−t) Ct=eE(ϕ(ST)/Ft) rt rT cequis’´ecritencoree Ct=E(e ϕ(ST)/FtleindiqundamentaroumelofiAsnlifa).tuota`’uqe ˜ instanttliuactxariep,l´seCt(enneop´eneurtpoinuoe’dT , ϕ(STelagmrefpee´alra)st)emalainrt ˜ v.a.ϕ(ST).
Proposition 5.2Si(Mt)est une martingale, alorst7→E(Mt)est constant et pour toutt∈Ton t∈T aE(Mt) =E(M0). En particulier siM0nev.estuage´,etnatsnoc.arembnoauleM0, on a pour toutt, E(Mt) =M0. ˜ Decettepropositionapplique´e`alamartingale(Ct,on)uitid´edidtamme´qteumeneurlevalalade t∈T ˜ ˜ primeC0cedupayeoff’ltsenare´pseCT=ϕ(ST). Pour finir ce paragraphe, indiquons la definition de sur- et sousmartingale, utile notamment pour l’etudedesoptionsam´ericaines. 2 De´finition:On dit qu’une m.a. (Xt) estuneF-sous -martingalesi et seulement siXestFtpada-ee´ t∈T et pour touss≤t, Xs≤E(Xt| Fs).(5.2) Ond´efinitdefa¸conanaloguelesF-surmartingalesuten.m.auqeitsa`alofsin.uEsveirdueem-metn une sousmartingale est une martingale.
2 retenir que toute valeurXsde la marche est “sous” (≤elnnioitouet)dleare´pse’dnoc(ecn)lfuture(tevaleurE(Xt|Fs)).
