Universite de Nice Annee Departement de Mathematiques Licence MI SM 1e annee
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Annee 2007-2008 Departement de Mathematiques Licence MI/SM 1e annee Analyse : notes du cours 4 Extrema d'une fonction de deux variables 1. Convexite : Definition : On dit qu'une fonction derivable x 7? f(x) est convexe sur un intervalle I =]a, b[? R si sa derivee est croissante sur I (et strictement convexe si elle est strictement croissante). On dit qu'elle est concave si sa derivee est decroissante (et strictement concave si elle est strictement decroissante1). Ainsi x 7? x2 et x 7? 1x sont convexes sur R et ]0,+∞[ respectivement. La fonction x 7? x 3 n'est ni convexe ni concave sur R mais elle est convexe sur [0,+∞[ et concave sur ] ?∞, 0]. Notons qu'une fonction f est concave si et seulement si la fonction ?f est convexe. Voici une propriete caracteristique de la convexite que nous pourrons generaliser aux fonctions de deux variables. Proposition 1 Une fonction f derivable est convexe si et seulement si son graphe est situe au-dessus de toutes ses tangentes, c'est-a-dire si, en tout point x0, on a pour tout x : f(x) ≥ f(x0) + f ?(x0)(x ? x0).
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Universite de Nice Annee 2007-2008 Departement de Mathematiques Licence MI/SM 1e annee Analyse : notes du cours 4 Extrema d'une fonction de deux variables 1. Convexite : Definition : On dit qu'une fonction derivable x 7? f(x) est convexe sur un intervalle I =]a, b[? R si sa derivee est croissante sur I (et strictement convexe si elle est strictement croissante). On dit qu'elle est concave si sa derivee est decroissante (et strictement concave si elle est strictement decroissante1). Ainsi x 7? x2 et x 7? 1x sont convexes sur R et ]0,+∞[ respectivement. La fonction x 7? x 3 n'est ni convexe ni concave sur R mais elle est convexe sur [0,+∞[ et concave sur ] ?∞, 0]. Notons qu'une fonction f est concave si et seulement si la fonction ?f est convexe. Voici une propriete caracteristique de la convexite que nous pourrons generaliser aux fonctions de deux variables. Proposition 1 Une fonction f derivable est convexe si et seulement si son graphe est situe au-dessus de toutes ses tangentes, c'est-a-dire si, en tout point x0, on a pour tout x : f(x) ≥ f(x0) + f ?(x0)(x ? x0).
- meme inegalite
- stricte convexite
- extrema
- fois derivables
- definition analogue pour minimum local
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Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Ann´ee2007-2008 LicenceMI/SM1eann´ee
Analyse : notes du cours 4 Extrema d’une fonction de deux variables 1.Convexit´e: De´finition:enu’cnofdnOuqtiabivleontierd´x7→f(x) estconvexesur un intervalleI=]a, b[⊆Rsi sa de´rive´eestcroissantesurI(etstrictement convexesi elle est strictement croissante). On dit qu’elle est 1 concavere´dasistseee´viroisd´ece(etsantstrictement concaveroecsaismeted´ntstsecirtiselletne.) 2 13 Ainsix7→xetx7→sont convexes surRet ]0,+∞[ respectivement. La fonctionx7→xn’est x ni convexe ni concave surRmais elle est convexe sur [0,+∞[ et concave sur ]∞,0]. Notons qu’une fonctionfest concave si et seulement si la fonction−fest convexe. Voiciuneproprie´te´caracte´ristiquedelaconvexite´quenouspourronsge´n´eraliserauxfonctionsde deux variables. Proposition 1Une fonctionfseusuad-sphdeenrgir´aetu´estsieluesteiosistnemsteeblvaesexnvco detoutessestangentes,c’est-a`-diresi,entoutpointx0, on a pour toutx: 0 f(x)≥f(x0) +f(x0)(x−x0).(1) Cetteine´galite´quis’´ecritaussif(x)≥L(x),o`uL(xs´rideeeilalae´ntse)fau pointx0, montre que l’approximationd’unefonctionconvexeparsaline´aris´eeesttoujoursunesous-estimationdelavaleur exacte.Lastricteconvexit´ecorresponda`lameˆmede´finition,maisavecuneine´galit´estricte. Preuve :´vreevexeicnfiibein´eettet´e(galinosop,)1sruoPuorpqrevunu’onefioctonncg(x) =f(x)−L(x) 0 00 et montrons quegest une fonction positive ou nulle. On ag(x0) = 0 et d’autre partg(x) =f(x)−f(x0). 0 00 00 Commefest croissante, on af(x)−f(x0)≤0 six≤x0etf(x)−f(x0)≥0 six≥x0. Donc la fonctiongourets´dceorsiastnpex≤x0et croissante pourx≥x0. Elle reste donc toujours positive. 0 Re´ciproquement,pourmontrerqueftsinpouxdensrotcroesdie´ocsntn,esiasx0etx1deItels que 0 0 x0≤x1et montrons quef(x0)≤f(x1e(t´au1)´einliga.)’Lnioptx0est satisfaite si l’on prend pourxla valeurx1, 0 f(x1)≥f(x0) +f(x0)(x1−x0) etlameˆmein´egalite´aupointx1cette fois est satisfaite si l’on prend pourxla valeurx0 0 f(x0)≥f(x1) +f(x1)(x0−x1). f x−f xf x−f x 01 01 00 Ilenr´esultequed’unepartf(x0)≤et d’autre part≤f(x1) (en se souvenant x1−x0x1−x0 0 0 quex0≤x1u`o’D.)f(x0)≤f(x1).✷ Lacaracte´risationpr´ec´edentesege´ne´ralisefacilementauxfonctionsdedeuxvariables: 2 D´efinition:On dit qu’une fonction (x, y)7→f(x, yd)e´irblvaesetconvexeosisargneehpiststu´e au-dessusdetoussesplanstangents,c’est-`a-diresientoutpoint(x0, y0), on a pour tout (x, y) : ∂f ∂f f(x, y)≥f(x0, y0() +x0, y0) (x−x0() +x0, y0) (y−y0) ∂x ∂y Ici encore laconvictestre´tixetresteicunetonefoitce´dnavirselberat´liga´einl’`aradnopserrocconcavesi songrapheestsitue´en-dessousdetoussesplanstangents(c’est-`a-direlorsqu’onauralameˆmeine´galite´ maisinverse´e).Anouveau,unefonctionfest concave lorsque la fonction−fest convexe. G´eom´etriquement,unefonctionconvexeaungraphehalersveutseottie´´teeirnedontncavlaco, comme 2 2 le bolf(x, y) =x+yelevsre´tiotseneiree´theapntdocolaavncitnooccnvaaenurgalorsqu’unefonc 2 2 bas comme le chapeauf(x, y) =9−x−y. Un planf(x, y) =ax+by+c`astecnvaeetalofsioc 2 2 convexe (mais pas strictement) et une sellef(x, y) =x−yn’est ni concave ni convexe. 1 Enfait,lanotiondeconvexite´existeplusg´en´eralement,pourtoutefonctionde´rivableounon(voirparexemple http ://fr.wikipedia.org/wiki/fonction convexe) 2 On appelle iciableerivd´eillseC.e´seaptrtmieonntsaucasodnetsrfaoinrceqnoiopiufenutcnod´uxiver`essdede d’uneseulevariable,cetted´erivabilite´la`n’entrainepasquelafonctionpuisseeˆtresuffisammentbienapproche´e parsaline´aris´ee.Pourquecesoitlecas,ilfaudrademandera`lafonctiond’ˆetred´eiffailbertne(voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/diffe´rentielle).
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2.Conditionsd’optimalite´dusecondordre On a vu que pour trouver les extrema d’une fonctionx7→f(xdestfa`aeeircereesoh,r)pal`ime rechercher ses points critiques. Parmi ces points critiques, certains sont l’argument d’un maximum local, d’autres l’argument d’un minimum local et d’autres ni l’un ni l’autre. Pour savoir dans quel cas l’on se trouve,ilsuffitenfaitdeconnaˆıtrelaconcavite´delafonction,c’est-`a-diredesavoirdistinguersielleest convexe (c’est la cas d’un minimum) , concave (c’est le cas d’un maximum) ou ni l’un ni l’autre. Pour les 0 00 fonctionsdeuxfoisd´erivables,lacroissancestrictedefcorrespond au fait quef >cee0stdae´rciossna 00 strictea`f <:tnaviusere`tir0elI.e´rntluscele
Proposition2Conditiond’optimalite´dusecondordre:Soitx7→f(x)une fonction deux fois d´erivablesur]a, b[et soitcun point de]a, b[: 0 00 – sif(c) = 0etf(c)>0alorscest un minimum local def. 0 00 – sif(c) = 0etf(c)<0alorscest un maximum local def.
Le corollaire suivant est souvent utile dans les applications :
Corollaire 3Si une fonction strictement convexef:]a, b[7→Rpec,euqitsetnioeunps`edcritointpso l’argument de son minimum global et il est unique.
Danslecasdesfonctionsdedeuxvariables,c’estunequantit´eappele´eleetmrde´ensiestHanin, qui se 00 calculefacilement`apartirdesd´eriv´eespartiellessecondes,quivajouerlerˆoledelade´rive´esecondef. Maisauparavante´tendonsauxfonctionsdedeuxvariableslesd´efinitionsd’extre´malocauxetglobaux. 2 D´efinition:On dit qu’une fonctionf(x, yemainodnuruseinfie´d)D ⊆Rs`edposuenmaximum local ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ au point (x ,y)∈ Ds’il existe un rectangleI×J=]x−ε, x+ε[×]x−δ, x+δ[ contenu dansD ∗ ∗ sur lequelf(x, y)≤f(x ,yint(utpoentoaiteligaeet´sastsftie)cistettee´nix, y)∈ Dil s’agit d’un maximum globalugpeuorionanaloed´efinitnutnemmedive´anO.minimum localetminimum global.
Proposition4Conditiond’optimalite´dusecondordre:Soit(x, y)7→f(x, y)une fonction deux 0 0 foisde´rivablesurdomaineouvertD=]a, b[×]a , b[coseeslliertpaeseunitnoctnossednsdontles4d´eriv´e et soit(xc, yc)un point deD. Soit 2 2 22 ∂ f∂ f∂ f D=D(x, y) =(x, y) (x, y)−(x, y). 2 2 ∂x ∂y∂x∂y
2 ∂ – SiGradf(xc, yc) = 0etD(xc, yc)>0avec2(xc, yc)>0alors(xc, yc)est un minimum local de ∂x la fonctionf. 2 ∂ f – SiGradf(xc, yc) = 0etD(xc, yc)>0avec2(xc, yc)<0alors(xc, yc)est un maximum local de ∂x la fonctionf.
3.D´eterminationdesextremaglobauxparlam´ethode`atroise´tapes.Comme pour les fonctions d’unevariables,ondisposed’unem´ethodesimplepourtrouverlaplusgrandeetlapluspetitevaleur d’une fonction (x, y)7→f(x, ylbleiravd)e´inedomaueleorsqDctanglerlsuueeqeelleell´dtsinfietseeernu 3 (avecsonbord),unpolygoˆne(avecsonbord)ouplusge´n´eralementundomaineborn´ede´finipardes in´egalite´slargesportantsurdespolynoˆmes.Pourlocalisercesdeuxextre´maglobaux,ilsuffiteneffetde proc´ederentroise´tapes: 1. Trouvertous les points critiques defopni(lugest`odereluclacruelavalteendiraetl)nustfen ces points. 2. Trouverles extrema defrobudtnemgeseuqad,serncirtnoithca`ursbole(erdfest une fonction d’uneseulevariablea`laquelleonpeutappliquerlam´ethode`atroise´tapes). 3.Laplusgrandeetlapluspetitevaleurstrouv´eesauxdeuxe´tapespr´ec´edentessontlesextrema cherche´s.
2 3 Une partie deRest diteeobe´nrndraec)rngta[les’ilexisteun(possbielemtnrte`gs−M, M]×[−M, M] qui la contient.
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