Universite de Nancy I Master
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Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique correction de l'examen du 13 octobre 2007 – I – 1. Un = ∑n j=1 Zj et Un+k = ∑n+k j=1 Zj , donc Un+k ? Un = ∑n+k j=n+1 Zj , puis (Un+k ? Un)2 = n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 ZjZj? , d'ou E[(Un+k ? Un)2] = n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 EZjZj? . Il vient E[(Un+k ? Un)2] ≤ n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 |EZjZj? | ≤ n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 ?j?j? ≤ n+k∑ j=n+1 ∑ j??Z ?j?j? ≤ n+k∑ j=n+1 M ≤ Mk, ou l'on a pose M = ∑ p?Z ?p < +∞. On remarque qu'en particulier EU2k = E(Uk ? U0)2 ≤ Mk. 2. (a) En utilisant l'inegalite de Markov, on a un = P(|Un2 | > ?n2) ≤ P(U2n2 > ?2n4) ≤ EU2n2 ?2n4 ≤ Mn2 ?2n4 = M??2 n2 ce qui assure la convergence de la
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Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique correction de l'examen du 13 octobre 2007 – I – 1. Un = ∑n j=1 Zj et Un+k = ∑n+k j=1 Zj , donc Un+k ? Un = ∑n+k j=n+1 Zj , puis (Un+k ? Un)2 = n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 ZjZj? , d'ou E[(Un+k ? Un)2] = n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 EZjZj? . Il vient E[(Un+k ? Un)2] ≤ n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 |EZjZj? | ≤ n+k∑ j=n+1 n+k∑ j?=n+1 ?j?j? ≤ n+k∑ j=n+1 ∑ j??Z ?j?j? ≤ n+k∑ j=n+1 M ≤ Mk, ou l'on a pose M = ∑ p?Z ?p < +∞. On remarque qu'en particulier EU2k = E(Uk ? U0)2 ≤ Mk. 2. (a) En utilisant l'inegalite de Markov, on a un = P(|Un2 | > ?n2) ≤ P(U2n2 > ?2n4) ≤ EU2n2 ?2n4 ≤ Mn2 ?2n4 = M??2 n2 ce qui assure la convergence de la
- critere fon- damental de convergence
- combinaison lineaire de variables integrables
- convergence
- serie de variables aleatoires
- n2 ≤
- convergence en probabilite
UniversitedeNancyI
ProbabilitesetModelisationStochastique
correction de l’examen du 13 octobre 2007
– I – P P P n n+k n+k 1.Un=ZjetUn+k=Zj, doncUn+kUn=Zj, puis j=1j=1j=n+1 n+k n+k X X 2 (Un+kUn) =ZjZj, 0 0 j=n+1j=n+1
d’ou n+k n+k X X 2 E[(Un+kUn=) ] EZjZj. 0 0 j=n+1j=n+1 Il vient n+k n+k X X 2 E[(Un+kUn) ] |EZjZj| 0 0 j=n+1j=n+1 n+k n+k X X jj 0 0 j=n+1j=n+1 n+k X X jj 0 0 j=n+1j∈Z n+k X M j=n+1 M k, X 2 ue qu’en particuli oul’onaposeM=p<+∞. On remarq erEUk= p∈Z 2 E(UkU0)M k. 2.(a)Enutilisantl’inegalitedeMarkov,ona 2 22 EU2M εM n 2 2 2 4n 2> un=P(|Un|> εn)P(Unε n) = 2 2 4 2 4 2 ε n ε n n cequiassurelaconvergencedelaserie
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