Universite de Nancy I Master
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Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Corrige de l'examen du 22 janvier 2009 (deuxieme session, duree 3h) – I – 1. Tout d'abord, remarquons que Yn est une variable aleatoire bornee (elle est bornee par 1(cos?)n . Ainsi les variables considerees ont bien integrables et admettent bien des esperances conditionnelles. Pour simplifier les ecritures, posons Zn = ?(Sn ? c?d2 )) : on a cos(Zn+1) = cos(Zn+?Xn+1) = cos(Zn) cos(?Xn+1)? sin(Zn) sin(?Xn+1). Zn est Fn-mesurable, donc E[cos(Zn+1)|Fn] = cos(Zn)E[cos(?Xn+1)|Fn]? sin(Zn)E[sin(?Xn+1)|Fn]. Cependant cos(?Xn+1) est sin(?Xn+1) sont independants de Fn, donc E[cos(?Xn+1)|Fn] = E[cos(?Xn+1)] = cos?, tandis que E[sin(?Xn+1)|Fn] = E[sin(?Xn+1)] = 0. Ainsi E[cos(Zn+1)|Fn] = cos? cos(Zn), d'ou il vient que E[Yn+1|Fn] = Yn, ce qui montre bien que Yn estd'ou il S2n+1 = (Sn +Xn+1)2 = S2n +X2n+1
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Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Corrige de l'examen du 22 janvier 2009 (deuxieme session, duree 3h) – I – 1. Tout d'abord, remarquons que Yn est une variable aleatoire bornee (elle est bornee par 1(cos?)n . Ainsi les variables considerees ont bien integrables et admettent bien des esperances conditionnelles. Pour simplifier les ecritures, posons Zn = ?(Sn ? c?d2 )) : on a cos(Zn+1) = cos(Zn+?Xn+1) = cos(Zn) cos(?Xn+1)? sin(Zn) sin(?Xn+1). Zn est Fn-mesurable, donc E[cos(Zn+1)|Fn] = cos(Zn)E[cos(?Xn+1)|Fn]? sin(Zn)E[sin(?Xn+1)|Fn]. Cependant cos(?Xn+1) est sin(?Xn+1) sont independants de Fn, donc E[cos(?Xn+1)|Fn] = E[cos(?Xn+1)] = cos?, tandis que E[sin(?Xn+1)|Fn] = E[sin(?Xn+1)] = 0. Ainsi E[cos(Zn+1)|Fn] = cos? cos(Zn), d'ou il vient que E[Yn+1|Fn] = Yn, ce qui montre bien que Yn estd'ou il S2n+1 = (Sn +Xn+1)2 = S2n +X2n+1
- theoreme de conver- gence monotone
- deduit avec la question precedente
- martingale adaptee
- theoreme de continuite sequentielle decroissante
- xt ≥
- xt ?
- theoreme de convergence dominee
UniversitedeNancyI
ProbabilitesetModelisationStochastique
Corrigedel’examendu22janvier2009 (deuxiemesession,duree3h) – I –
Master 1
1. Toutd’abord, remarquons queYntslleeelbailaenutsravenor(eeetoeaebir 1 borneeparnesgitleb.lArianetesdisnocselbairavsinenbintsoeere (cos) admettentbiendesesperancesconditionnelles.Poursimplierlesecritures, cd posonsZn=(Sn)) : on a 2 cos(Zn+1) = cos(Zn+Xn+1) = cos(Zn) cos(Xn+1)sin(Zn) sin(Xn+1). ZnestFn-mesurable, donc E[cos(Zn+1)|Fn] = cos(Zn)E[cos(Xn+1)|Fn]sin(Zn)E[sin(Xn+1)|Fn]. Cependant cos(Xn+1) est sin(Xn+1enepdinesdntdaostn)Fn, doncE[cos(Xn+1)|Fn] = E[cos(Xn+1)] = cos, tandis queE[sin(Xn+1)|Fn] =E[sin(Xn+1)] = 0. Ainsi E[cos(Zn+1)|Fn] = coscos(Zn), d’ouilvientque E[Yn+1|Fn] =Yn, ce qui montre bien queYntd’ouiles 2 22 22 S= (S=S+X+ 2S X=S+ 1 + 2S X, n+1n+Xn+1)n n+1n n+1nn n+1 carXn+1∈ {1,1}. Par suite ∀n0Yn+1=Yn+ 2SnXn+1. Snseion(tpaaeelaltartneturtmagainadleFn)n0. 2.Tlttemesp’dnerte(etiusaledeesSn)n0enlieorebsland]∞d]∪[c,+∞[. Comme (Sn)n0tadaes(ontlaitaretplaeFn)n0(on a vu que pour tout n,SnestFn-mesurable), il s’ensuit queTlaestptdaaea’rreˆatnuetpmds ltration (Fn)n0. Mais (Yn)n0marttuneeseeapateldaniagnioattrlla (Fn)n0em’draˆrteidqteulorsqu’onarrˆetemenuitralagneeroehtel,rO. adapteeauneltrationparuntempsd’arrˆetadaptealameˆmeltration,le processusobtenuestencoreunemartingaleadapteeacetteltration.Ainsi (YT∧n)n0itartlalaeetpdaeaalngtiaremunetson(Fn)n0. On va montrer queST∧n∈ {c;c+ 1;. . . d1;d}. On raisonne iciωpar ωendanceenm,eˆemisaldpeωsspaneurgearchurpmieessopeticilestlair lesecritures. PardenitiondeT, on sait queSn∈/] ∞ d]∪[c,+∞[ pourn < T. Si T= +∞, alors on a pour toutn,n < Tetc < ST∧n<d. Supposons doncTni. Comme (|Sn|tesalav)ereno,ssrueitneru,aopn < T,c < ST∧n< d. CommeST=ST1+XT, on a alorsST=ST1+XT
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