Universite de la Mediterranee L3 Biochimie
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de la Mediterranee L3 Biochimie PROBABILITES et STATISTIQUES 2009-2010 Controle Continu (Correction) mardi 20 octobre 2009 duree 1 heure Une feuille A4 manuscrite (recto-verso), les tables des lois et la calculatrice sont autorisees. Exercice 1 5 points Les mesures de tailles de 2 echantillons de rotiferes (petits organismes vivant dans l'eau et consti- tuant une grande partie du zooplancton d'eau douce) ont conduit aux resultats suivants : Tailles (en mm) Effectifs Moyennes observees Variances observees Males (Population M ) nM = 51 xM = 10.67 ?2M = 1.48 Femelles (Population F ) nF = 49 xF = 11.07 ?2F = 1.29 On note x1, · · · , xn l'echantillon complet (males et femelles ensemble), ou x1, · · · , x51 designent les tailles observees pour les males, puis x52, · · · , xn les tailles observees pour les femelles. Par exemple, Nom de l'observation x1 x2 · · · x51 x52 x53 · · · xn Valeur observee 10, 51 10, 73 · · · 10, 47 11, 25 11, 48 · · · 10, 93 Population d'appartenance M M · · · M F F · · · F On note x la moyenne de l'echantillon complet et ?2 sa variance.
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Universite de la Mediterranee L3 Biochimie PROBABILITES et STATISTIQUES 2009-2010 Controle Continu (Correction) mardi 20 octobre 2009 duree 1 heure Une feuille A4 manuscrite (recto-verso), les tables des lois et la calculatrice sont autorisees. Exercice 1 5 points Les mesures de tailles de 2 echantillons de rotiferes (petits organismes vivant dans l'eau et consti- tuant une grande partie du zooplancton d'eau douce) ont conduit aux resultats suivants : Tailles (en mm) Effectifs Moyennes observees Variances observees Males (Population M ) nM = 51 xM = 10.67 ?2M = 1.48 Femelles (Population F ) nF = 49 xF = 11.07 ?2F = 1.29 On note x1, · · · , xn l'echantillon complet (males et femelles ensemble), ou x1, · · · , x51 designent les tailles observees pour les males, puis x52, · · · , xn les tailles observees pour les femelles. Par exemple, Nom de l'observation x1 x2 · · · x51 x52 x53 · · · xn Valeur observee 10, 51 10, 73 · · · 10, 47 11, 25 11, 48 · · · 10, 93 Population d'appartenance M M · · · M F F · · · F On note x la moyenne de l'echantillon complet et ?2 sa variance.
- proprietaire du moulin
- tailles observees pour les femelles
- calculer de la meme
- somme des carres des tailles des males
- olives
- panier
- poids
- echantillon complet
Universit´edelaM´editerran´ee PROBABILITES et STATISTIQUES
ContrˆoleContinu(Correction) mardi 20 octobre 2009 dure´e1heure
L3 Biochimie 2009-2010
UnefeuilleA4manuscrite(recto-verso),lestablesdesloisetlacalculatricesontautoris´ees.
Exercice 15 points Lesmesuresdetaillesde2´echantillonsderotife`res(petitsorganismesvivantdansl’eauetconsti-tuantunegrandepartieduzooplanctond’eaudouce)ontconduitauxre´sultatssuivants:
Tailles (en mm) Maˆles(PopulationM) Femelles (PopulationF)
Effectifs nM= 51 nF= 49
Moyennesobserv´ees xM= 10.67 xF= 11.07
Variancesobserve´es 2 σˆ =1.48 M 2 σˆ =1.29 F
On notex1,∙ ∙ ∙, xnec’´lollitnahtelpmocn(mˆalesetfemelleessnmelb)e, ou`x1,∙ ∙ ∙, x51esd´neigeltniatssellesbomsaˆruelseopvre´les, puisx52,∙ ∙ ∙, xnesboselliatselemsfleurpoes´ervleel.s Par exemple,
Nom de l’observationx1x2∙ ∙ ∙x51x52x53∙ ∙ ∙xn Valeurobserv´ee10,51 10,73∙ ∙ ∙10,47 11,25 11,48∙ ∙ ∙10,93 Population d’appartenanceM M∙ ∙ ∙M FF∙ ∙ ∙F
2 On notexmolpteteel’´echantilloncaleyomdennσvariance.ˆ sa
1) Combienvautnt?mplenoocitllhcna’le´deifctffe’e,l L’´echantilloncompletcontientles2haecilnt´colsnd,non=nM+nF= 100. nM X 2) UtiliserxMetnMpour calculerxisdlemˆesesedilta,alosmmsela. i=1 P nM xi i=1 Parde´finitiondelamoyenne,xM=. nM nM X doncxi=nMxM= 544.17. i=1 3)Calculerdelameˆmefac¸onlasommedestaillesdesfemelles. P n xi i=52 Demeˆme,xF=. nF n X doncxi=nFxF= 542.43. i=52
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4) Calculerx. P PP n51n xixi+xi i=1i=1i=52 On rappelle quex= =. n n 544.17 + 542.43 On calcule doncx= =10.87. 100 nM X 2 2 ,lmedescarr´esdest 5) Utiliserˆxσ ,MetnMpour calculerxiaˆms.sellalsioamedse M i=1 P nM 2 x 2i=1i2 Pard´efinitiondelavariance,σˆ =−x. M M nM nM X 2 22 oncxˆσ+x= 5881.77. di=nMM M i=1 6)Calculerdelamˆemefac¸onlasommedescarr´esdestaillesdesfemelles. P n 2 x 2i=52i2 Demeˆme,ˆσ=−x. F F nF n X 2 22 doncx=nFσˆ +x= 6067.91. i FF i=52 2 7) Calculerˆσ. P PP n51n 2 22 x x+x 2i=1i2i=1i i=52i2 On rappelle queσˆ =−x=−x. n n 5881.77 + 6067.91 2 On calcule doncσˆ =−118.1569 = 1.34. 100
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Exercice 215 points Desr´ecoltantsam`enentleurspaniersd’olivesdansunmoulin.Lespanierssontpes´esunepremie`re fois (psee´1e`tesuonaosruevilesd´ledepu),viisep´sevuase(e2see´pL’ex).tantploiniluomudete`hca alors les olives. Lesre´sultatsdelaes´ee1psadeonisep,ldsoite´’ilba’uqrnfineontpermisdes)desmmrang(e 2 2 paniersvidesestunevariableal´eatoireXqui suit une loi normaleN(500, σ= 60). X La´sep2eeestimerqpermisd’dsu’pnnaeuelopdiaotri´laeelpmerreievilo’dievunstseeabliaarY 2 2 qui suit une loi normaleN(4 500, σ= 100). Y 1)Donnerunintervallesyme´triqueautourde4500etquicontient98%dupoidsdespaniers remplis d’olives. L’intervalles’e´crit[4 500−c×100; 4 500 +c×100]. c¸afede´lqeca`nocuealcuestcIP(−c≤U≤c) = 0,98,o`uUsuit une loiN(0,1). Ainsic= 2.326’iulernt,o`d’llave[ 4267.37 ;4732.63 ] 2)Labalanceestlimit´eeaupoidsmaximalde5kg. a)Quelleestlaprobabilit´equ’unpaniervidede´passeceseuilde5kg? IP(X≥5000) = IP(U≥75) = 0 b)Quelleestlaprobabilite´qu’unpanierpleinde´passecemˆemeseuil? IP(Y≥5000) = IP(U≥5) = 0 2 c) Sion supposeµY= IE(Y) inconnue, alors le poids d’un panier plein suivrait la loiN(µY,100 ). Combien devrait valoirµYpour que IP(Y≥5000) = 0,01. 5000−µY IP(Y≥5000) = 0,01⇐⇒IPU≥= 0,01 100 5000−µY ⇐⇒= 2.326 100 ⇐⇒µy= 5000−232.6 = 4767.4
3) OnnoteZle poids des olives contenues dans un panier. a) ExprimerZen fonction deXet deY. Ladiffe´renceentrelesdeuxpes´eescorrespondaupoidsdesolivesquisontachete´esparle proprie´tairedumoulin. DoncZ=Y−X b) CalculerIE(Z). IE(Z) = IE(Y)−IE(X) = 4500−000500 = 4g 4) Pourchacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. i)XetYetnadnepe´dnitnoss. ii)XetZet.sdnnae´eptindson iii)YetZtnad.sed´inenepntso Le poids du panier videXet le poids des olivesZtnocerailbseonsitnedvsrantes,pard´ependa Ytse’´dninideneenepntdaX, ni deZ.
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5)Parmiles´egalit´essuivantes,direlaquelleestvraie.Justifier. i)V ar(Z) =V ar(X) +V ar(Y). ii)V ar(Z) =V ar(Y)−V ar(X). iii)V ar(Z) n’est pas calculable. CommeZ=Y−X, alorsY=X+ZavecXetZ.esind´dantepen 2 22 DoncV ar(Y) =V ar(X) +V ar(Z),`o’duV ar(Z) =V ar(Y)−V ar(X) = 100−60 =80 6)Lepropri´etairedumoulinache`telesolives0,50 euro le kilo. Combien paie-t-il en moyenne lorsqu’onluiame`neunpanierd’olives? On noteGle prix du panier d’olives;G= 0.5∗Z/1000. DoncIE(G) = 0.5∗IE(Z)/1000 = 2euros.
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