Université de la Méditerranée Centre d'Océanologie De Marseille
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
1 Université de la Méditerranée Centre d'Océanologie De Marseille Licence Sciences de la Mer et de l'Environnement 3ème année Unité d'enseignement : Projet Modélisation Sujet : Estimation de l'erreur dans la détermination du centre de tourbillons océaniques Marion Drouzy Année 2010/2011
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1 Université de la Méditerranée Centre d'Océanologie De Marseille Licence Sciences de la Mer et de l'Environnement 3ème année Unité d'enseignement : Projet Modélisation Sujet : Estimation de l'erreur dans la détermination du centre de tourbillons océaniques Marion Drouzy Année 2010/2011
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Université de la Méditerranée Centre d’Océanologie De Marseille Licence Sciences de la Mer et de l’Environnement 3 ème année Unité d’enseignement : Projet Modélisation Sujet : Estimation de l'erreur dans la détermination du centre de tourbillons océaniques
Marion Drouzy Année 2010/2011
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E stimation de l'erreur dans la détermination du centre de tourbillons océaniques Sommaire : Introduction
....p.3 I/Création d’un tourbillon fictif dont le centre est connu
...p.4 1°/ Création d’un tourbillon fictif
..p.4 2°/ Modélisation de la trajectoire du bateau
.......p.5 II/ Estimation du centre grâce aux valeurs relevées et estimation de l’erreur dans le cas du tourbillon circulaire
....p.5 1°/Conversion de l’erreur en terme de distance kilométrique entre le centre calculé et le centre réel :
.p.6 2°/Variation de la distance de la trajectoire par rapport au centre réel du tourbillon Circulaire
.p.6 III/Variation des paramètres susceptibles d’induire une erreur dans l’estimation du centre d’un tourbillon elliptique
.......p.7 1°/Variation de l’ordonnée à l’origine de la trajectoire
.p.7 2°/Variation de la pente de la trajectoire
...
..p.9 3°/Variation de l’excentricité de l’écliptique
..p.10 IV/Conclusion
Annexes
.p.12
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..p.11
Introduction Lorsque les océanographes se penchent sur l’étude d’un tourbillon océanique, il est intéressant d’avoir une estimation précise de la localisation du centre de ce denier, et les éventuelles fluctuations saisonnières de ses coordonnées. Le centre d’un tourbillon constitue un endroit stratégique dans l’étude des up et downwelling, en ce qu’ils peuvent permettre de suivre des biomasses phyto et zooplanctoniques..etc. Au moyen de mesures courantométriques effectuées lors du passage d’un bateau au travers d’un tourbillon, on peut modéliser par des vecteurs, la vitesse et le sens du courant à chaque point de mesure. La norme de chaque vecteur caractérise alors sa vitesse, et l’obliquité par rapport à la trajectoire, est représentative du sens du courant. Figure 1 : exemple d’une trajectoire traversant un tourbillon circulaire Dans le cas idéal où la trajectoire du bateau traverse le tourbillon en passant par son centre, il est facile d’en déterminer les coordonnées, qui correspondent aux relevés des plus faibles vitesses de courant. Cependant, la trajectoire du bateau est aléatoire. Il se peut qu’elle traverse le tourbillon à une distance plus ou moins grande de son centre. Mr. Nencioli a créé un programme informatique permettant d’estimer les coordonnées du centre d’u tourbillon circulaire à partir des relevés courantométriques évoqués plus haut, et ce, quelque soit la trajectoire du bateau dans le tourbillon. Deux facteurs pourraient cependant faire varier la précision de l’estimation et induire une erreur dans la détermination de la position du centre : On peut supposer que plus le bateau passe « loin » du centre du tourbillon, moins les vitesses relevées sont significatives et moins l’estimation du centre sera précise. La deuxième inexactitude pourrait provenir du fait que Mr. Nencioli base son programme sur l’hypothèse de tourbillons océaniques circulaires. Or, en Mer Méditerranée tout au moins, les tourbillons se révèlent être elliptiques! L’utilisation de son programme devrait donc logiquement contenir une certaine erreur due à l’excentricité si l’on tente de l’appliquer à des données de tourbillon méditerranéen. Peut-on tout de même utiliser le programme moyennant une erreur ? Est-il possible d’estimer cette erreur ? L’objet du projet est donc de créer un tourbillon elliptique fictif, dont la position du centre est connue, et de simuler l’acquisition de données sur la vitesse et le sens du courant. La modélisation de tout type de trajectoire de bateau traversant ce tourbillon est alors possible. En faisant varier les caractéristiques de la trajectoire ou bien l’excentricité du tourbillon, on pourra acquérir des valeurs de vitesses fictives. En les soumettant ensuite au programme informatique, nous pourrons comparer le centre calculé à celui choisi au départ, et calculer l’erreur inhérente à chaque scénario. 3
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et l’excentricité s’exprime Il est important d’avoir la possibilité de changer l’excentricité du tourbillon en faisant varier A et B car il faut tester l’hypothèse selon laquelle l’erreur dans l’estimation des coordonnées du centre du tourbillon dépend de cette excentricité. Il ne reste maintenant qu’à représenter le tourbillon marin, dans la zone choisie, ce qu’il nous est possible de faire à l’aide de la fonction « quiver » et de l’acquisition de m_map, programme permettant d’avoir les lignes de rivages de l’endroit considéré et les coordonnées des longitudes et latitudes en degrés.
2°/ Modélisation de la trajectoire du bateau Le bateau peut traverser le tourbillon à une distance plus ou moins importante de son centre. Il est possible que l’estimation du centre et l’erreur en résultant soit fonction de cette trajectoire, il nous faut donc pouvoir la modifier librement. Pour la représenter, on peut définir une droite qui traverse le tourbillon, d’équation : y = ax+b On pourra faire varier la trajectoire en jouant sur l’ordonnée à l’origine (b) ou le coefficient directeur (a) de la droite. Pour avoir une trajectoire du bateau passant exactement par le centre du tourbillon il suffira alors de prendre une ordonnée à l’origine (b), nulle. Il nous reste alors à enregistrer les valeurs de vitesses du courant récoltées par le bateau sur son passage. Le nombre de relevés peut aussi être contrôlé par la taille du vecteur x, dans le cas présenté, 29 valeurs sont relevées le long de la trajectoire du bateau. Ces valeurs sont ensuite enregistrées car elles vont nous permettre d’estimer les coordonnées du centre du tourbillon traversé. II/ Estimation du centre grâce aux valeurs relevées et estimation de l’erreur dans le cas du tourbillon circulaire Lors d’une réelle campagne en mer, la trajectoire du bateau ne passe jamais par son centre, contrairement au cas idéal présenté sur la figure 1, et les vecteurs représentant la vitesse et la direction du courant ne sont pas perpendiculaires à la trajectoire du bateau. Ils se révèlent être obliques et peuvent donc être décomposés en deux composantes, l’une tangentielle et l’autre radiale. Le programme créé par Mr. Nencioli (Nencioli et al. 2008) utilise ces deux composantes pour déterminer le centre du tourbillon. Pour chaque point d’intersection d’une grille de recherche définie, on fait donc la décomposition des vecteurs vitesses en composantes tangentielles et radiales. La projection des vecteurs sur le centre réel du tourbillon donnerait des composantes radiales nulles car les vecteurs sont dans ce cas orthogonaux au transect, mais le cas idéal où le centre du tourbillon correspond à une intersection de la grille est quasi impossible :
Figure 2 : décomposition des vecteurs vitesses selon la trajectoire du bateau Pour améliorer la précision, nous pouvons jouer sur la taille de la grille. Le point du quadrillage relevant les maximums de valeurs tangentielles, ou bien les minimums de valeurs radiales correspondra donc à la meilleure estimation du centre du tourbillon. Selon que l’on se base sur l’un ou l’autre des calculs pour estimer le centre du tourbillon, on obtient des résultats différant légèrement, c’est pourquoi il nous faut distinguer les calculs d’erreurs pour chaque méthode, que nous appelons « radiale » ou « tangentielle ».
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Nous pouvons donc comparer, en fonction de la trajectoire du bateau, les coordonnées du centre du tourbillon, et ainsi déterminer l’erreur dans son estimation. Il s’agit ensuite de la convertir en termes de distance au centre, que nous avons nous-mêmes décidé de placer à 3.40° de longitude et 42.40° de latitude. 1°/Conversion de l’erreur en terme de distance kilométrique entre le centre calculé et le centre réel : « a » correspond à la distance longitudinale, en degrés, entre le centre calculé et le centre réel : a = (x1 - 3.40) « a’ » correspond à cette même distance convertie en km, sachant qu’à une latitude de 42°Nd, 1° de longitude vaut environt 82 km : a’= a * 82 « b » correspond à la distance latitudinale entre les deux centres : b = (y1 - 42.40) « b’ » est la distance latitudinale convertie en km, sachant que 1° de latitude équivaut à environ 111km : b’ = b*111 La distance d entre les deux centres, en km, est donc facilement calculable : d=sqrt(a’*a’+b’*b’) 2°/Variation de la distance de la trajectoire par rapport au centre réel du tourbillon circulaire L’hypothèse à tester est que plus les données récoltées sur la trajectoire du bateau sont distantes du centre, moins les vitesses seront significatives et permettront de calculer avec précision la position du centre. Pour faire varier ce paramètre, nous pouvons faire varier l’ordonnée à l’origine de la droite régissant la trajectoire: Un nouveau script permet, au moyen d’une boucle, la simulation de 20 trajectoires aux ordonnées à l’origine différentes, et calcule pour chacune les centres suivant les méthodes tangentielle et radiale. (script en annexe2)
Figure 3: 20 trajectoires traversant un tourbillon circulaire 6
Pour chacune des valeurs de centre calculée, le script calcule également l’erreur dans l’estimation et la traduit en distance, ce qui permet d’obtenir les graphiques suivant, si le tourbillon modélisé est circulaire :
Figure 4 : Estimation de l’erreur pour un tourbillon circulaire en fonction de la distance au centre du transect Observations Lorsqu’on considère un tourbillon circulaire, les distances entre centre calculé et centre réel sont nulles. Autrement dit, exceptées les deux valeurs aberrantes que l’on voit sur le graph, le programme de Mr Nencioli permet d’estimer très exactement la position du centre dans le cas idéal d’un tourbillon circulaire. Nous nous concentrerons donc dans la suite du projet sur l’étude des tourbillons elliptiques. III/Variation des paramètres susceptibles d’induire une erreur dans l’estimation du centre d’un tourbillon elliptique 1°/Variation de l’ordonnée à l’origine de la trajectoire Par la même méthode que celle utilisée précédemment pour le tourbillon circulaire, à la seule différence que l’équation du tourbillon devient : U = -Ay V = Bx avec A ≠ B Pour le premier jet de calculs, nous choisissons A et B tels qu’ils créent une excentricité de 0.66 :
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Figure 5 : 20 trajectoires traversant un tourbillon d’excentricité e=0.66
Observations : La simulation de 20 passages de bateau à différentes distances du centre, en jouant sur l’ordonnée à l’origine de la droite du transect, montre que la précision dans l’estimation du centre est bel et bien réduite dans le cas du tourbillon ellipsoïdal.
Figure 6 : estimation de l’erreur du tourbillon ellipsoïdal en fonction de la distance au centre du transect
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On peut noter l’aspect « en bol » de la répartition des points, qui indique le champ limite dans lequel doit s’effectuer la trajectoire du bateau pour que la détermination du centre soit possible et significative. Ce champ semble être un périmètre d’environ 15 km de rayon pour une excentricité de 0,66. On peut supposer que l’étendue de ce périmètre va varier avec l’excentricité du tourbillon, et être maximale pour une excentricité proche de zéro, autrement dit pour un tourbillon circulaire. En réitérant les calculs pour des tourbillons d’excentricité croissante, on obtient la courbe suivante : Etendue du périmètre de fiabilité selon l'excentricité 30 25 20 methode radiale 15 methode 10 tangentielle 5 0 0.35 0.5 0.66 0.82 0.96 excentricité du tourbillon Figure 7 : Estimation du rayon du périmètre de fiabilité des calculs en fonction de l’excentricité Il apparait donc bien que plus le tourbillon est elliptique, moins la détermination de la position du centre permise par le script de Mr Nencioli est précise. 2°/Variation de la pente de la trajectoire Un second moyen de faire varier la trajectoire du bateau est de jouer sur le coefficient directeur de la ligne droite, d’équation : y=ax+b Un script supplémentaire nous permet, au moyen d’une boucle, de simuler 20 nouveaux passages aux coefficients directeurs (a) différents et de calculer l’erreur pour chacun : Figure 8 : 20 trajectoires de bateau aux coefficient directeurs de droite différents 9
Figure 9 : Estimation de l’erreur en fonction du coefficient directeur de la droite Observations : Une fois encore la méthode radiale semble être moins précise que celle tangentielle dans la détection du centre, mais les variations dans les distances d’erreurs sont plus importantes pour cette dernière. En effet, pour la méthode radiale, l’erreur oscille entre 2.5 et 2.8km de distance au centre réel, tandis que l’erreur de la méthode tangentielle varie entre 0.3 et 2.7 km. Dans les deux cas, le minimum d’erreur est trouvé pour une pente de 0 (trajectoire horizontale sur la carte), c'est-à-dire que l’équation de la trajectoire se réduit à : y=b Cela peut s’expliquer car on se trouve alors dans le cas d’un bateau traversant un tourbillon circulaire, sans apparition d’une composante radiale des vecteurs de vitesses. 3°/Variation de l’excentricité de l’écliptique L’hypothèse à tester est maintenant que plus l’excentricité du tourbillon traversé est marquée, plus l’erreur dans la détermination du centre est grande. En effet, plus l’excentricité du tourbillon est importante, plus la décomposition des vecteurs en composantes radiales et tangentielle est notable et donc susceptible d’induire une erreur. Un nouveau script (donné en annexe 3) permet la simulation de 20 trajectoires traversant chacune un tourbillon d’excentricité différente en jouant sur les paramètres A et B, et le calcul de l’erreur :(cf p.3 : excentricité = c/a): Différentes images de tourbillons d’excentricité variables peuvent être visualisées. Elles sont obtenues grâce aux valeurs des composantes (soit tangentielles soit radiales) des vecteurs vitesses relevés le long de la trajectoire et calculées en chaque point de la grille. Appliquées à la fonction Pcolor, les tourbillons apparaissent en couleur, fonction des valeurs des composantes. Les images sont données en annexes 4 et 5.
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Figure 10 : Estimation de l’erreur en fonction de l’excentricité du tourbillon Observation et interprétation : On obtient une erreur minimale, quasi nulle, pour une excentricité (=degré d’ellipticité sur le graph) se rapprochant de 0, c'est-à-dire un tourbillon circulaire. L’hypothèse selon laquelle l’erreur dans l’estimation du centre dépend de l’excentricité du tourbillon est donc vérifiée. Cependant on peut observer que l’erreur n’est pas nulle pour une excentricité précisément égale à zéro (A=B). L’erreur maximum dans la détermination de la position du centre est de l’ordre de 5km du centre réel, et ce pour une excentricité de 0.9, c'est-à-dire un tourbillon à l’aplatissement maximum. IV/Conclusion Dans la mesure où les tourbillons océaniques sont le plus souvent elliptiques, le programme de Mr Nencioli nous permet de calculer la position de leur centre moyennant une erreur plus ou moins grande. Cette erreur dépend de la trajectoire du bateau mais aussi du degré d’aplatissement du tourbillon considéré. Au terme de ce projet, il nous est possible d’avoir une idée de l’erreur dans l’estimation de la position du centre. Celle-ci est traduit en terme de distance entre la position du centre calculé et celui réel, mais elle ne renseigne pas sur la direction de l’erreur (N,S,E,W). Il nous faudrait maintenant estimer dans quelle direction se trouve la position réelle du centre, par rapport à celle calculée grâce aux valeurs expérimentales. Suite au travail effectué , il est tout au plus possible, connaissant les caractéristique de la trajectoire et du tourbillon, de délimiter un périmètre dans lequel se trouve le centre. Son rayon peut s’étendre de l’ordre de quelques centaines de mètres jusqu’au kilomètre mais n’a dans nos calculs jamais excédé 5 km.
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