Universite d'Orleans Universite Franc¸ois Rabelais de Tours Federation Denis Poisson
3
pages
Français
Documents
2010
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
3
pages
Français
Documents
2010
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans & Universite Franc¸ois Rabelais de Tours Federation Denis Poisson Master 2 de Mathematiques Outils d'Analyse Harmonique Le 5 janvier 2010 Examen ecrit ? Duree : 3 heures & 30 minutes (9h–12h30 pour les etudiants de l'Universite d'Orleans, 10h–13h30 pour les etudiants de l'Universite de Tours) ? Documentation autorisee : Cours (resumes et notes personnelles) ? La qualite de l'argumentation et de la redaction sera prise en compte Probleme 1. Soit ? > 0. Le but de cette question est de determiner les indices 1 ≤ p, q ≤∞ pour lesquels l'operateur de convolution Tf = k ? f par la fonction k(x) = (1 + |x|)?? est borne de Lp(Rn) dans Lq(Rn). (a) Calculer la fonction de repartition ? = ?k et le rearrangement decroissant k? de k . Esquisser leur graphe. (b) Determiner les espaces de Lebesgue Lr(Rn) et les espaces de Lorentz Lr,s(Rn) aux- quels appartient k . (c) En deduire que T est borne de Lp(Rn) dans Lq(Rn) sous les conditions suivantes, qu'on illustrera graphiquement : ? 01? ?n , 1 n et 1≤p≤q≤∞.
Voir
Universite d'Orleans & Universite Franc¸ois Rabelais de Tours Federation Denis Poisson Master 2 de Mathematiques Outils d'Analyse Harmonique Le 5 janvier 2010 Examen ecrit ? Duree : 3 heures & 30 minutes (9h–12h30 pour les etudiants de l'Universite d'Orleans, 10h–13h30 pour les etudiants de l'Universite de Tours) ? Documentation autorisee : Cours (resumes et notes personnelles) ? La qualite de l'argumentation et de la redaction sera prise en compte Probleme 1. Soit ? > 0. Le but de cette question est de determiner les indices 1 ≤ p, q ≤∞ pour lesquels l'operateur de convolution Tf = k ? f par la fonction k(x) = (1 + |x|)?? est borne de Lp(Rn) dans Lq(Rn). (a) Calculer la fonction de repartition ? = ?k et le rearrangement decroissant k? de k . Esquisser leur graphe. (b) Determiner les espaces de Lebesgue Lr(Rn) et les espaces de Lorentz Lr,s(Rn) aux- quels appartient k . (c) En deduire que T est borne de Lp(Rn) dans Lq(Rn) sous les conditions suivantes, qu'on illustrera graphiquement : ? 01? ?n , 1
- transformee de fourier inverse
- h–13h30 pour les etudiants de l'universite de tours
- inclusions entre espaces de besov et de lizorkin-triebel inho- mogenes
- espace de sobolev hsp
Universit´ed’Orl´eans& Universit´eFran¸coisRabelaisdeTours F´ede´rationDenisPoisson
Examen´ecrit
Master2deMathe´matiques Outils d’Analyse Harmonique Le 5 janvier 2010
Dure´e&serim03:ueh32h–1po30tenu9hs(tndsduai´steruel´ed’rsitniveel’U,snae´lrO ◦ 10h–13h30pourlese´tudiantsdel’Universite´deTours) ◦eeDmucoentationautoris´)selletenoetesnnsoerspC:uosrr(e´us´m ◦epteesimocnesnorparL´tilauqaedalnotecait´rde’argedeltatiumen
Probl`eme1. Soitσ >1esicdniselrenimrete´onestdedtequestiubdtcete.0eL≤p, q≤ ∞pour −σ lesquelsl’ope´rateurdeconvolutionTf=k∗fpar la fonctionk(x+) = (1|x|) est p nq n born´edeL(R) dansL(R). ∗ (a)Calculerlafonctionder´epartitionλ=λkleetear´anrremeg´dtnorceassitnkdek. Esquisser leur graphe. r nr,s n (b)De´terminerlesespacesdeLebesgueL(R) et les espaces de LorentzL(R) aux quels appartientk. p nq n (c)End´eduirequeTeed´ernbostL(R) dansL(R) sous les conditions suivantes, qu’on illustrera graphiquement: ( 1 1σ 1≤p, q≤ ∞avec−>1−, p qn ◦0< σ < net 1 1σ 1< p, q <∞avec−= 1−, p qn ◦σ=net 1≤p < q≤ ∞, ◦σ > net 1≤p≤q≤ ∞. (d) (Facultatifntre)Mopsuoqreusscereaionss´etnidnonoiteuqrcsecTsiobtron´ede p nq n L(R) dansL(R).
Probl`eme2. n∞n Soitmd’nedroromnh`eogysbmloieenudsurRi.e.mest une fonctionCsurR ve´rifiantlaconditionsuivante: n nα d−|α| ∀α∈N,∃C≥0,∀ξ∈R,|∂ m(ξ)| ≤C(1+|ξ|). ξ Lebutdecettequestionestd’´etudierlecomportement,notamment`al’origine,dela transforme´edeFourierinverse Z −n ihx, ξi k(x) = (2π)dξ m(ξ)e . n R Aceteffet,onsedonneunepartitiondel’unite´dyadiqueinhomoge`ne P +∞ e 1 =ψ0(ξ) +ψj(ξ) j=1 etonconsid`erelesd´ecompositionsassocie´es e Pm0(ξ) =ψ0(ξ)m(ξ), +∞ m=mj(ξ),avec j=0 ∗ mj(ξ) =ψj(ξ)m(ξ)∀j∈N, et P +∞ k(x) =kj(x). j=0
