Universite d'Orleans UFR Sciences Licence de Physique 1ereannee
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2006
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite d'Orleans 2005/2006 UFR Sciences Licence de Physique 1ereannee SCL1MT21 – Mathematiques pour Sciences Physiques Examen du 21 juin 2006 Duree 2h, Calculatrices et documents interdits. I– Nombres complexes. 1. Donnez les racines complexes z0, z1, . . . de l'equation (1) : z4 = 1 (1) 2. Placez-les dans le plan complexe. 3. Pour z0 solution de (1) donnez les racines qui lui sont complexes conjuguees s'il y a lieu. 4. Exprimez les racines de (1) dans le systeme cartesien. II– Equations differentielles. Resoudre dans R 1. x?(t) + 2x(t) = t x(0) = 0 2. x??(t) + 2x?(t) = t x?(0) = x(0) = 0 III– Fonction de plusieurs variables-Systeme de coordonnees. 1. Representez un point M du plan repere par ses coordonnees dans le systeme cylindrique. Representez les vecteurs de la base orthonormee associee au point M. 2. Aux coordonnees (x, y, z) du systeme cartesien correspondent les coordonnees du systeme cylindrique selon la fonction f telle que : f : R3 ? R3 (x, y, z) ? (r cos(?), r sin(?), z) (2) (a) Calculez la matrice jacobienne de f(x, y, z) au point (x0, y0, z0).
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Universite d'Orleans 2005/2006 UFR Sciences Licence de Physique 1ereannee SCL1MT21 – Mathematiques pour Sciences Physiques Examen du 21 juin 2006 Duree 2h, Calculatrices et documents interdits. I– Nombres complexes. 1. Donnez les racines complexes z0, z1, . . . de l'equation (1) : z4 = 1 (1) 2. Placez-les dans le plan complexe. 3. Pour z0 solution de (1) donnez les racines qui lui sont complexes conjuguees s'il y a lieu. 4. Exprimez les racines de (1) dans le systeme cartesien. II– Equations differentielles. Resoudre dans R 1. x?(t) + 2x(t) = t x(0) = 0 2. x??(t) + 2x?(t) = t x?(0) = x(0) = 0 III– Fonction de plusieurs variables-Systeme de coordonnees. 1. Representez un point M du plan repere par ses coordonnees dans le systeme cylindrique. Representez les vecteurs de la base orthonormee associee au point M. 2. Aux coordonnees (x, y, z) du systeme cartesien correspondent les coordonnees du systeme cylindrique selon la fonction f telle que : f : R3 ? R3 (x, y, z) ? (r cos(?), r sin(?), z) (2) (a) Calculez la matrice jacobienne de f(x, y, z) au point (x0, y0, z0).
- boule centree
- racine complexe
- equation cartesienne du plan p1
- systeme cartesien
- complexes conjuguees
- mathematiques pour sciences physiques
- vecteurs de la base orthonormee
- coordonnees dans le systeme cylindrique
Universit´ed’Orl´eans UFR Sciences e`re LicencedePhysique1anne´e
SCL1MT21–Mathe´matiquespourSciencesPhysiques Examen du 21 juin 2006 Dure´e2h,Calculatricesetdocumentsinterdits.
I–Nombres complexes.
1. Donnezles racines complexesz0, z1, . . .tauqe´’led:1)n(io
2005/2006
4 z= 1(1) 2. Placez-lesdans le plan complexe. 3. Pourz0)1odnnzeelrscanisolutionde(nocsexelsee´ugujuiilquesmpcontsoyalis’ileu. 4.Exprimezlesracinesde(1)danslesyste`mecart´esien. ´ II–snaderds.R´esouentiellesnid´ffreEuqtaoiR 0 1.x(t) + 2x(t) =t x(0) = 0 00 00 2.x(t) + 2x(t) =t x(0) =x(0) = 0 III–ooecedemeen´onrd.sondFeonctiieurplusailbvsrasy`tseS-1.Repre´sentezunpointMduplanrep´ere´parsescoordonn´eesdanslesyste`mecylindrique. Repre´sentezlesvecteursdelabaseorthonorme´eassocie´eaupointM.
2.Auxcoordonne´es(x, y, zesdeen´onemt`ysuscneierroracese´tsclerdooonspntdeusyst`em)d cylindrique selon la fonctionftelle que : 3 3 R→R f: (2) (x, y, z)→(rcos(ϕ), rsin(ϕ), z) (a) Calculezla matrice jacobienne def(x, y, z) au point (x0, y0, z0). (b)Donnezsond´eterminant. (c)Ende´duirelarelationentrelesvolumes´el´ementairesexprime´sencoordonn´eescart´esiennes et cylindriques.
e`re LicencedePhysique1ann´ee
Num´erod’anonymat:
SCL1MT21–Math´ematiquespourSciencesPhysiques
Exercice IV–snoitcno:nsidOncolesf`eregarepe´nnod p 2 2 2 g(x, y, z) = (xyz,4−(x+y+z)) ethdonn´eepar 2 2 h(x, y) = 4x+y
1.Donnerledomaineded´efinitionDdeg:
2.Dest (nobalreruotneseeponner´) (a)Unesphe`recentr´eeen0etderayon2. (b)Uneellipsecentr´eeen0etdegrandaxee´galea`1. (c) Undemi-espace. (d)Uneboulecentre´een0etderayon2. (e)Aucundespre´c´edents.
3.De´crirelescourbesdeniveaudeh: Il s’agit de (entourerlabonner´eponse) (a)Disquescentr´esen0. (b) Ellipses. (c) Demi-droites. (d) Droites. (e)Aucundespre´c´edents.
4. Calculerla matrice Jacobienne degau point (1,0,0) :
√ 5. Calculerla matrice Jacobienne dehau point (1,2) :
.
6.CalculerlamatriceJacobiennedanslescasou`c’estpossible(sicen’estpaspossiblee´crire “non”):
(a)g◦hen (1,0) :
(b)h◦gen (1,0,0) :
−11 1 Exercice V–nscoOnalere`diecirtamA= 1−1 1 . 1 1−1
−1 (a) Donnerson inverseA=
x (b)De´terminerl’ensembledes(x, y, z) tels queA y:= 0 z
(c)h◦gen (1,0) :
3 3 (c)De´terminerl’applicationline´airef:R→Rdont la matrice dans la base canonique ~ ~~ i, j, kestA:
f(x, y, z) =
3 33 (d)De´termineruneapplicationlin´eaireg:R→Rtelle que, pour tout~u∈R,g f(u~) = ~u:
g(x, y, z) =
Indication :quelle est la matrice deg◦f? 3 Exercice VI–rtiovsceetrudseere`disnocno,ecircxetecensDaRdonn´espas ~u= (0,1,1)v~,= (1,0,1)w,~= (1,1,0).
(a) Calculeru~∧v~=
(b)Ende´duireku~∧~vk=
(c)Donnerl’aireduparalle´logrammede´termine´parlesvecteurs~uet~v:
(d)D´eterminerhu~∧w~,v~i=
(e)Donnerl’e´quationcarte´sienneduplanP1ndr´engeeparv~u,~et deP2rpaenegne´rd~~wu,
P1:
P2:
