Universite d'Orleans U F R Faculte des Sciences
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Universite d'Orleans U.F.R Faculte des Sciences CAPES de Physique-Chimie Preparation a l'ecrit PB Mecanique du point: oscillateurs mecaniques 24 novembre 2005 1. Un cube C, de masse m, assimilable a un point materiel M , est relie a un ressort de raideur k et peut glisser sur un plan horizontal sans frottement. Le cube est amene en un point A, a une distance a = OA de sa position d'equilibre O; il y est la^che a t = 0 sans vitesse initiale. Il s'ensuit un mouvement de retour vers le point O que l'on propose d'etudier. (a) A un instant t donne, le cube C est en un point M , a la position x(t) = OM(t) et avec une vitesse de norme v(t). i. Exprimer en ce point l'energie potentielle U (en la justiant) et l'energie mecanique E m du cube C. ii. Que peut-on dire de l'energie mecanique E m ? Justier votre reponse. (b) Le cube C arrive au point O. i. Determiner, a partir de l'energie mecanique E m , la vitesse du cube en ce point en fonction de k, m et a.
- expressions de l'energie potentielle
- equation dierentielle du mouvement
- force de frottement constante
- frottement dans le plan horizontal
- energie mecanique
laUnivEersitdetemd'Orl.)eansedemmenU.F.RleFenaculteloineedes(d)SciencesfCAPEScodecPhnouvysique-ChimieduPr.aileparationointapartirl'erenleecritnaturePBtMmouvhecaniquevitesseduDpsonoinlet:enoscillateurs)mmceecaniques,24no,vdeemtrabrep2005erisons1.duitUni.cubenergieeCemen,Endetmasseiii.mequilibre,CassimilableuneosaetunilpproinointtmattnouverieleMO,aestreeec-liDte1ecaniquealauneressortoindederaideuretkEnetenpeteuttraglisserlasurauncoursplanduhorizonAtaltsansCaractfrottemenmouvt.seLeducubOeestl'amen,edienduundup.ointuvA(,cubestal'uneOdistancecubamain=OdeAte,deeesamenpnormeositionmgd'l^e,equilibreecOdu;Aili.yelle-t-onestel^?aceterminerhexpressionduelorspassageaiii.tndition=oir0eciensansourvitesseeinitiale.emenIl?s'ensuiteterminerunmouvmouv(emencubtenergiederetourEv,ersvitesselecubpenoinpttOfonctionquekl'onmpropaoseii.d'deduire,etudier.fonction(a)kAaunleinstanvtdetforcedonnrppe,auleducubjetepCtestauenoinunOp(c)ointleMemen,quiproaautourlapptosition.xEcrire(atde)=mOecaniqueMm(l'tequation)ettielleamouvvtecubcCuneii.vitesseddeeduirenormemovemen(xtt).dui.e.ExprimerQuelleenlacedepoinent?l'LeeenergieestptenanotensoumistielleaUforce(enfrottemenlaconstanjustianoppt)etaul'e-tenergiedemF=ec;aestniqueacEmcommeducubet,Cp.tii.sansQueinitiale.pCommeneut-onappdireledel'cienenergieii.mlaecaniqueelleEdemvitesse?cubJustierCvdeotrepremierren.epQuelleonse.o(b)doit-onLevcubsurecoCtarrivpequeaucubpparvienneointivttOO.iv.i.Dleeaueterminer,emenxatpartirdudee.l'et2.=Onerieur:etudiemobileleunmouvtemen).trd'oscillation.d'uniemobileunautopestorteurTS,(demasseilmc,tsurtunedutablechorizonestale.cCemobileonestdemainmtennuenergieentreetiquedeuxressortsfrottemenfaterverepMononsequelinamorti.peaireRde1,etestRcet2tielledeconstan)tedeositionraideurk1).et;k.20,detendusexpressionsentrel'deuxmpoinxtsdixesmAEtudeetBde.vLesdeuxtressortsnondutlamouvm)^emevlongueureterminera,celuial'videparldur03.ettielleurmatmassepestpndOegligeableendevplacan=tcelletducmobile.deuxApar:l'4aequilibre,quelesMlongueursstable.deslaressortsdson.tl'expressionl(1donnet=lcm2625telleslaquedeLdonner=l(1Donner+l'loten2E.),(a)energieEtudetotalesansxfrottemendet.cini.cCetteD.teretudeerensersuraememenphe.veeEndansleunerteftrelaerencotielfrottementerrestrenstqueetl'onlaconsidbileEcrireereradicommetiellegalilt(esolution.en.queQueinfsignieacettecondition?dii.mouvLemobilesystoscillateurQuelleemeeneretanfrottementteeaemenl'unequilibre,faireoinleerielbilanmdeseurforcesquies'appliqueneutteplacersurxle.mobileSdeuxethargeseneesdeneteduire.lespexpressionspanalytiquesdansddeesparlongueurscl1(etql2xenxfonctionMondepk1une,kt2exprimera,plerio0eet0LD.eterminerOnanalytiquedonne:xkt1On=e40aN6:m01et,=kg2Calculer=p85erioNT:met1l'expression,umlerique0x=t0C.;les3demetpLtielle=elastique0p;x8dem.mCalculerecaniquelesElongueurs(l)1celleetl'lenergie2.Eiii.(On).ReprecarteesenlecesmobileStesdeenergiessaunp^ositiongd'a(b)equilibreaOecdettellersorteealitquee,sonexistecenforcetrefrottemend'inertie~G=se~denleeplaceetdanstable.lareprdirectionesenABunvecienersdeBtenounaptoin~testCvitessetelmoqueSOi.Cl'=equationa.enLedumobileemenestdonalorsxabandonntesteii.sanstrervitesselorsqueinitiale.estAl'instantunetaleur,0lel'oncentreled'inertieemenGduestestrepd'unharmoniqueeriii.estepargsondissipabscisseeexle(ttendan).laOnptotaleoseramouvpt?ourDanslarsuiteefkeren=galilkeen,1p+tk2M.masseA.etOnortsuppd'uneosehargequeelectriqueleositivrqessortpRse2restesurtoujoaxeur0sxtendu,Ilmonsitutrerequ'iltreenautrecstqdemsur^axeemexpaourxlearessortL'Renergie1oten.duB.oinEcrireMl'lehampequationforcedireerenetiellelesduautresmouvhargesemendteniedonUtxx=(2t)0est1solution.+Mon1treraq(a)uetrercelemouvoinemenmatterielestadmetceluipd'und'oscillateurequilibreharmonique2don y
a B
k2
My kkA C 11
x O x-a a
k2
-a D
oisinage0tra,sunerepfonctionforcescalairepfpar(txeterminer)trale?pteut~s'kdeecrireraideurde(b)fal'oconpappropcoinhemenee;sousylacasforme:kfediaire(longuxLes)eren=surfT(auxO0p)d+(forcexosexsans0tal.)tildhf0dxecvx=Mxk0k+y(termxquatrex^0ur)a2tes2diressortsd2gurefylor,xdxde2t,oisinagexig=dx0tielled(b)eduireeFterminerenl'expressiont.approccOnhleMeetdeplanUson(sacxa)=auvl^oisinageedetlxaapvitesseosition0d'~(d)equilibrecrirestable.ctoire(c)lesEnand=,eduire=l'.,equationl'indumouvdeemenressortstmdeemeceepauoinost.Mconstanaudevdesoistsisonnageddeeniessalapci-dessous.Sacqu'auvaLeoinxptd'un=laoinrelationMesx;d'apr)hanetanosition(a)d'ptequilibre(stable.y(d)Dtvedeterminerrl'ine,equationdesonlaenergietraotenjectoireEsi.Enatla=~0:appliquxee(cetoin=Cette0)est-elle=ena(c)20supp;quevpxt(glissetfrottemen=dan0)le=horizonaEtudier20mouvstqhan2qu'l'instant00maa3et4.eUnacpoindutoinmatM(eriel0M0)devmasseuneminitialeestvli=0ee.aDquatreeplaoinjetsde
