UNIVERSITE D'ORLEANS SL01MA11 Groupes et Departement de Mathematiques
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
UNIVERSITE D'ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Departement de Mathematiques 2009-2010 N. El Hage Hassan ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES La theorie des ensembles est a elle seule une branche des mathematiques modernes. Il n'est donc pas question de trouver ici un expose tres approfondi. On se contente essentiellement de rappeler quelques definitions, regles d'utilisation relatives aux ensembles et aux applications. Le principal concept de la theorie des ensembles est celui d'appartenance; si X est un ensemble, la relation x ? X signifie que x est un element de l'ensemble X, ou encore qu'il appartient a X; la negation de cette relation s'ecrit x 6? X. Si X et Y sont deux ensembles, la relation Y ? X signifie que chaque element de Y est un element de X. Dans ce cas, on dit que Y est inclus dans X, ou que Y est un sous-ensemble ou une partie de X; la negation de Y ? X s'ecrit Y 6? X. Deux ensembles X et Y sont dits egaux, note X = Y , si et seulement si X ? Y et Y ? X. En d'autres termes, deux ensembles sont egaux si et seulement s'ils possedent les memes elements. Ainsi, la notion d'ensemble ne comporte pas autre chose que ce qui est specifie par la donnee des elements.
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UNIVERSITE D'ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Departement de Mathematiques 2009-2010 N. El Hage Hassan ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES La theorie des ensembles est a elle seule une branche des mathematiques modernes. Il n'est donc pas question de trouver ici un expose tres approfondi. On se contente essentiellement de rappeler quelques definitions, regles d'utilisation relatives aux ensembles et aux applications. Le principal concept de la theorie des ensembles est celui d'appartenance; si X est un ensemble, la relation x ? X signifie que x est un element de l'ensemble X, ou encore qu'il appartient a X; la negation de cette relation s'ecrit x 6? X. Si X et Y sont deux ensembles, la relation Y ? X signifie que chaque element de Y est un element de X. Dans ce cas, on dit que Y est inclus dans X, ou que Y est un sous-ensemble ou une partie de X; la negation de Y ? X s'ecrit Y 6? X. Deux ensembles X et Y sont dits egaux, note X = Y , si et seulement si X ? Y et Y ? X. En d'autres termes, deux ensembles sont egaux si et seulement s'ils possedent les memes elements. Ainsi, la notion d'ensemble ne comporte pas autre chose que ce qui est specifie par la donnee des elements.
- branche des mathematiques modernes
- notation particulierement commode
- departement de mathematiques
- b2 ?
- universite d'orleans sl01ma11
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Français
UNIVERSITE D’ORLEANS De´partementdeMathe´matiques
SL01MA11, Groupes 1 et 5 2009-2010
N. El Hage Hassan ´ ´´ ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES Lath´eoriedesensemblesest`aelleseuleunebranchedesmath´ematiquesmodernes.Iln’estdonc pasquestiondetrouvericiunexpose´tr`esapprofondi.Onsecontenteessentiellementderappeler quelquesd´efinitions,re`glesd’utilisationrelativesauxensemblesetauxapplications. Leprincipalconceptdelathe´oriedesensemblesestceluid’appartenance;siXest un ensemble, la relationx∈Xsignifie quexest unemtnlee´´de l’ensembleX, ou encore qu’ilappartient`aX; la ne´gationdecetterelations’e´critx6∈X. SiXetYsont deux ensembles, la relationY⊂Xigsfieniecququhale´eeme´edtnYnet´lmentusee´ deX. Dansce cas, on dit queYestinclusdansX, ou queYestun sous-ensembleouune partie deXdnoielan´egat;Y⊂Xe´’stircY6⊂X. Deux ensemblesXetYsont ditsxuag´eton,e´X=Y, si et seulement siX⊂YetY⊂X. En d’autrestermes,deuxensemblessonte´gauxsietseulements’ilsposse`dentlesmeˆmese´le´ments.Ainsi, lanotiond’ensemblenecomportepasautrechosequecequiestspe´cifie´parladonn´eedese´l´ements. Danslapratique,lorsqu’ononveutd´emontrerl’´egalite´dedeuxensembles,ilfautprouverlesdeux inclusions. L’ensembledontlese´le´mentssontexactementlesobjetsx1, x2, . . . , xnse note{x1, x2, . . . , xn}. En particulier, sixest un objet, l’ensemble{x}el´elpaepetssingletonneme´le´d’tx.
1Ope´rationssurlesensembles Partied’unensemblede´finieparunerelationsenuneesnadtno´n.EtlembXe´te´riopprnetueP, il existe un sous-ensemble unique deXs´le´eelntmesme´lstnetnossuotsee´noltdx∈Xpour lesquels P(xelbmesnetirce´’sestvraie;cesous-){x∈X;P(x)}. Parexemple on aX={x∈X;x=x}. L’ensemble∅X={x∈X;x6=x}stapeleeep´lsous-ensemble videdeXneil;nucuaede`ssop e´l´ement.SiXetYsont deux ensembles, on a∅X=∅Y, en d’autres termes tous les ensembles vides sontdonc´egauxet,pourcetteraison,ilsseronttousrepre´sent´espar∅pour tout ensemble. DoncX, on a∅ ⊂X. Notezquel’ondoitdistinguerentreune´l´ementetunsous-ensembled’unensembledonn´e.Parex-emple, l’ensemble{∅}est non vide, car∅ ∈ {∅}, et donc on a∅ 6={∅}. Ensemble des parties d’un ensemble. SiXest un ensemble, il existe un unique ensemble dont lese´l´ementssonttouslessous-ensemblesdeX; on le noteP(X). Ona donc∅ ∈P(X),X∈P(X) et A⊂X⇐⇒A∈P(X). En particulier, on a a∈X⇐⇒ {a} ⊂X⇐⇒ {a} ∈P(X). Diffe´rencededeuxensembles;compl´ementaired’unepartie. SiXetAsont deux ensembles, l’ensemble{x∈X;x6∈A}s’appelle la´ffidenercede l’ensembleXet de l’ensembleA, on le note X\Ade plus,. Si,A⊂X, alorsX\As’appelle lempcoeml´taeneirdeAdansX, et peut aussi se noter{XA.
Intersectionetr´euniondedeuxensembles. L’intersectionde deux ensemblesXetYt´ee,on X∩Yrofelbmeuotede´ml´´eesslqutsenemraitaipptna`neenis`alafo,estl’ensXetYd’autres. En termes, on a x∈X∩Y⇐⇒x∈Xetx∈Y. Deux ensembles dont l’intersection est∅sont ditsdisjoints. La´rueinnode deux ensemblesXetYee,´tonX∪Yse,iuqstneousledetl´emes´esnmelte’ro´mlbfe appartiennent`al’unaumoinsdesdeuxensemblesX,Y. End’autres termes, on a x∈X∪Y⇐⇒x∈Xoux∈Y. Produitcart´esienesedh´ntrieoortasimpeplutundoienurtcnotstnceroep.Lseneise´tractiud ensembles. Ilnous permet d’exprimer plusieurs concepts en termes d’ensembles.A deux objetsa,b, estassoci´eunnouvelobjetquel’onnote(a, b) et qu’on appelle le couple (a, b.)’Lpoe´aritnoconsistant `aformerdescouplesestsoumise`auneseulere`gled’emploi,quevoici:pourquel’onait(a, b) = (c, d) il faut et il suffit que l’on aita=cetb=dparticulier, on a (. Ena, b) = (b, a) si et seulement si a=b. Nepas confondre le couple (a, b)cevadeuxle`asembl’enstmenee´´l{a, b}. SoientXetYdeux ensembles, leiruadcotsrpe´tnei(ou simplementproduit) deXetYn,toe´X×Y, est l’ensemble des couples (x, yu`o,)xitcr´edXetyirtecd´Y. Autrementdit, on a X×Y={(x, y) ;x∈Xety∈Y}. Onde´finitdefac¸onanalogueleproduitdenensembles: SoientX1, X2, . . . , Xnnensembles, on a
X1×X2× ∙ ∙ ∙ ×Xn={(x1, x2, . . . , xnpour tout) ;i, on aitxi∈Xi}. i`eme Une´l´ementz= (x1, x2, . . . , xn) deX1×X2× ∙ ∙ ∙ ×Xnsnteeul´peapn-uples etxis’appelle la i coordonne´edez. Soient(x1, x2, . . . , xn) et (y1, y2, . . . , yn)stedmenee´´ledxuX1×X2× ∙ ∙ ∙ ×Xn, alors on a (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn) si et seulement si pour touti∈ {1, . . . , n}, on axi=yi. SiX n est un ensemble, on noteraXduroepltre´tiacedisneXi-mˆarlupemenfois. PropositionSoientX,YetZdes ensembles. 1. OnaX∩Y⊂X⊂(X∪Y),X∩ ∅=∅,X∪ ∅=X,X\X=∅etX\ ∅=X. 2. OnaX∩(Y∪Z) = (X∩Y)∪(X∩Z),X∪(Y∩Z) = (X∪Y)∩(X∪Z) et (X∪Y)×Z= (X×Z)∪(Y×Z),(X∩Y)×Z= (X×Z)∩(Y×Z).
3. SoientAetBdeux parties deX, alors on a X\(X\A) =A, A\B=A∩(X\B). X\(A∩B) = (X\A)∪(X\B), X\(A∪B) = (X\A)∩(X\B). 4. SoientAetBdeux parties deX, alorsA⊂Buesteisesedunl’sintmelepropri´et´essuivnaets estv´erifie´e: A∩B=A, A∪B=B, X\B⊂X\A, A∩(X\B) =∅,(X\A)∪B=X.
2 Applications SoientXetYSe donner unedeux ensembles.applicationfdeXdansY, que l’on notef:X−→Y, c’estfairecorrespondre,a`chaque´el´ementxdeXu,uninuq´elee´ntmedeY, que l’on notef(x). Si x∈Xety∈Ytels quey=f(x), on dit queyest lavaleurdefenx, ou queyest l’imagedex parfetxest unnace´tde´entdey. L’ensembleXs’appelle l’ensembleded´epartet l’ensembleY s’appelle l’ensemblee´errvida’def. Legraphede l’applicationf,t´noeΓf, est le sous-ensemble de X×Y:r,d´efinipa Γf={(x, y)∈X×Y;y=f(x)}={(x, f(x))∈X×Y;x∈X}. Notons qu’un sous-ensembleGdeX×Yest le graphe d’une application deXdansYsi et seulement si pour toutx∈X, il existe un uniquey∈Ytel que (x, y)∈Gc’est ainsi que la plupart. D’ailleurs, desauteursd´efinituneapplicationdeXdansY. Le motfonctionest synonyme du mot application; l’usage veut que l’on emploie le mot fonction lorsquel’ensembled’arrive´eestunensembledenombresc’est-a`-direunepartiedeRouC, mais cette re`glen’ariend’absolu. SoientX,Ydeux ensembles etfune application deXdansYpour tout. Lorsquex∈X,f(x) est donne´explicitement,pourd´esignerf, on utilise la notationx7→f(x) ou f:X−→Y X−→Y ou x7−→f(x)x7→−f(x) 0 00 0 ´ Egalite´dedeuxapplications. SiX,Y,X,Ysont des ensembles et sif:X−→Y,g:X−→Y 0 0 sont des applications, on af=gsi et seulement si on aX=X,Y=Yetf(x) =g(x) pour tout x∈X. Composition des applications. SoientX,Y,Zdes ensembles etf:X−→Y,g:Y−→Z des applications.Lamoopcs´eedefetgeot´e,ng◦f, est l’application deXdansZiefinrpade´ g◦f(x) =g(f(x)) pour toutx∈X. SoientTun ensemble eth:Z−→Tune application.Alors on ah◦(g◦f) = (h◦g)◦fet cette applicationestnot´eeh◦g◦f. Restriction et prolongement. SoientX,Ydes ensembles etAun sous-ensemble deX. Soit f:X−→YOn appelleune application.restrictiondefa`Al’applicationf|A:A−→Ytelle que pour toutx∈A, on aitf|A(x) =f(x). L’applicationf|Aestparfoisnote´efA. Soienth:A−→Yetg:X−→Ydes applications.On dit quegest unprolongementdehsi pour toutx∈A, on ag(x) =h(x). Autrementdit,gest unprolongementdehsi la restriction de g`aAela`´egaesth.
Notation. SoientXetYLes applications dedeux ensembles.XdansYconstituent un ensemble X que l’on noteF(X, Y), et parfoisYdnauqemmodntcoremeli`eitucpnrataoin,toXest un ensemble fini. L’ensembleF(X, Yus-ensemfie`aunso’sdineitdelb)eP(X×Y).
Exemples: 1. Pourtout ensembleX, l’application idX:X−→Xel´ementi`atout´uqxassociexs’appelle l’application identique, outnediit´e, deX. 2. SiAest une partie d’un ensembleX, on appelleinjection canoniquedeAdansX, l’application deAdansXnfie´d,rapei(x) =xpour toutx∈A.
