Universite d'Orleans Master Recherche de Mathematiques

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Je m'inscris

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Je m'inscris

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

profil-mupheg-2012

Nombre de lectures

Langue

Français

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 2 Recherche de Mathematiques 2011-12 1 TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrige des exercices du chapitre 10 – Diffusions Exercice 10.1 On considere la diffusion definie par l'equation dXt = ?Xt dt+ dBt (processus d'Ornstein–Uhlenbeck). 1. Donner le generateur L associe et son adjoint L?. L = ?x ∂ ∂x + 1 2 ∂2 ∂x2 , L?? = ∂ ∂x ( x? ) + 1 2 ∂2? ∂x2 . 2. Soit ?(x) = pi?1/2 e?x 2 . Calculer L??(x). Que peut-on en conclure? On trouve L?? = 0. Par consequent, ?(x) est une solution stationnaire de l'equation de Kolmogorov progressive (ou de Fokker–Planck) ∂tu = L?u, ce qui signifie que c'est une mesure invariante du systeme : Si X0 suit la loi ?, alors Xt suit la meme loi pour tout t > 0. Remarquons que ? est la densite d'une variable aleatoire normale, centree, de variance 1/2. Nous avons deja obtenu dans l'exercice 8.1, que ? est la loi asymptotique de la solution de la meme EDS avec X0 = 0. En fait on peut montrer que pour toute distribution initiale, la loi de Xt tend vers la distribution stationnaire ?.

?? ? ?

processus d'ornstein–uhlenbeck

diffusion definie par l'equation

vitesse de croissance de la variance du processus

loi asymptotique de la solution de la meme eds avec x0

solution generale

variance

xt ?

loi de xt

Voir

Publié par

profil-mupheg-2012

Langue

Français

Universit´ed’Orl´eans–Master2RecherchedeMathe´matiques2011-12

TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrig´edesexercicesduchapitre10–Diﬀusions Exercice 10.1 Onconside`reladiﬀusionde´ﬁnieparl’e´quation dXt=−Xtdt+ dBt (processus d’Ornstein–Uhlenbeck). ∗ 1.leenegr´rnan´DeourteL´icosteedanoniojtssaL. 2 2   ∂1∂ ∂1∂ ρ ∗ L=−x+ρ, L=xρ+. 2 2 ∂x2∂x ∂x2∂x 2 −1/2−x∗ 2.Soitρ(x) =πe. CalculerL ρ(x). Quepeut-on en conclure? ∗ On trouveL ρueeq,ntrcPas´on.0=ρ(xnoitauqe´’nairedelnstationselotuoie)tsnu ∗ de Kolmogorov progressive (ou de Fokker–Planck)∂tu=L u, ce qui signiﬁe que c’est unemesureinvariantedusyste`me:SiX0suit la loiρ, alorsXtsuitlamˆemelioopru toutt >0. Remarquons queρecnairaved,ioere´taellairbar´eecentale,normtlesneda´tisu’deaven 1/N.2ob`aejd´nsvosaou’lxereicetunadsnece8.1,quρest la loi asymptotique de lasolutiondelamˆemeEDSavecX0= 0.En fait on peut montrer que pour toute distribution initiale, la loi deXttend vers la distribution stationnaireρ. Exercice 10.2 Onconside`reladiﬀusionde´ﬁnieparl’´equation dXt=XtdBt. 1.´en´rlegonneDtarerueLossae´ic. 2 1∂ 2 L=x . 2 2∂x 2.ledel’´eqgu´aetni´oenraosulitnoorvurealTLu= 0. 00 On aLu= 0 siu(x=),0odontieng´lantlusotare´seelu(x) =c1x+c2. x 3.duirnd´eEeP{τa< τb}u`o,τadepsemetelotend´edegassapreimerpXtena. x Indication: Ils’agit de calculerE(ψ(Xτ))u`o,τerosime`edtreistetelesdmpreep [a, b], etψ(a) = 1,ψ(b) = 0. x On sait queu(x) =P{τa< τb}eobpreml`stoisltudueon  Lu(xpour) = 0x∈[a, b] ,  u(a) = 1,   u(b) = 0. Ensubstituantlasolutionge´ne´raledanslesconditionsauxbords,onpeutd´eterminer lesconstantesd’inte´grationc1etc2tiond,o’u`alosul b−x x P{τa< τb}=. b−a

Voir