Universite d'Orleans Master Professionnel de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 2 Professionnel de Mathematiques 2009-10 1 TD Master 2 – Mathematiques financieres Corrige Serie 1 – Integrales stochastiques Exercice 1 Soit h : R ? R une fonction deterministe, de carre integrable, et soit Xt = ∫ t 0 h(s) dBs ? 1 2 ∫ t 0 h(s)2 ds . Soit Yt = eXt. 1. Calculer dYt a l'aide de la formule d'Ito. Comme dXt = h(t) dBt ? 1 2 h(t)2 dt , la formule d'Ito (avec u(t, x) = ex et dX2t = h(t) 2 dt) donne dYt = e Xt dXt + 1 2 eXt dX2t = eXt h(t) dBt ? 1 2 eXt h(t)2 dt+ 1 2 eXt h(t)2 dt = h(t)Yt dBt . 2. Soit N une variable aleatoire normale centree, de variance ?2. Montrer que E (eN ) = e? 2/2 En completant le carre [x? x2/2?2 = ?2/2? (x? ?2)2/2?2], il vient E (eN ) = ∫ ∞ ?∞ ex e?x 2/2?2 √ 2pi?2 dx = e? 2/2 ∫ ∞ ?∞ e?(x?? 2)2/2?2 √ 2pi?2 dx = e? 2/2 .

combinaison lineaire de variables normales

loi normale

centree

centree de variance

variable y∞

isometrie d'ito

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Loi normale

Universit´ed’Orl´eans–Master2ProfessionneldeMathe´matiques2009-10

TDMaster2–Math´ematiquesﬁnancie`res Corrig´eS´erie1–Inte´gralesstochastiques Exercice 1 Soith:R→Re,stbaele´rgietnoitdnoiete´fenutcnoec,dr´arinrmteis Z Z t t 1 2 Xt=h(s) dBs−h(s) ds . 2 0 0 Xt SoitYt= e. 1.CalculerdYtofallumrI’de.oˆt`aail’dede Comme 1 2 dXt=h(t) dBt−h(t) dt , 2 x2 2 laformuled’Itˆo(avecu(t, xet d) = eX=h(t) dt) donne t 1 XtXt2 dY= e te dXt+ dXt 2 1 1 XtXt2Xt2 = eh(t) dBt−eh(t) dt+ eh(t) dt 2 2 =h(t)YtdBt. 2 2.SoitNvadee,´etrenecalmroneriotae´laelnevariabuecirnaσ. Montrerque 2 N σ/2 E= e(e ) 2 22 22 2 Encompl´etantlecarr´e[x−x /2σ=σ /2−(x−σ)/2σ], il vient Z2 2Z22 2 ∞ −x /2σ∞ −(x−σ)/2σ e e 2 2 N xσ /2σ /2 E= e(e )√dx= e√dx= e. 2 2 −∞2πσ−∞2πσ 3.eeruq´dnEiudeYtest une martingale. Soitt > s>erirce´tuepnO.0 Z Z t t 1 2−β/2N Yt=Ysexph(u) dBu−h(u) du= eYse 2 s s Z Z t t 2 avecβ=h(u) duetN=h(u) dBu. CommeYs⊆ FsetN⊥ Fs, s s −β/2N E(Yt|Fs) = eYsE(e ). OrNectnameld,ve´reeuitusinorneloiaarencβi’le´mosirteI’detˆo.Parveenudrt N β/2 cons´equent,Ee()e=,ecagelinrtmade´eeti´prorpaleuqilpmiiuqE(Yt|Fs) =Ys. Remarque:Un autre raisonnement possible est d’observer qu’en vertu de 1., Z t Yt=Y0+h(s)YsdBs 0 quiestunemartingale,puisquec’estl’inte´graled’Itoˆd’unprocessusadapt´e. 4.CalculerE(Yt). Yt,olegainrtmanetutena´anE(Yt) =E(Yt|F0) =E(Y0) = 1.

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