Universite d'Orleans Master AMA
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Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans Master AMA 1 Unite M2MT01 Probabilites Approfondies corrige de l'examen du 26 mai 2005 Exercice Si on pose fn(x) = x + Xn, on a bien Sn+1 = fn+1(Sn), et (fn) est une suite de fonctions aleatoires independantes identiquement distribueees. (Sn) est donc bien une chaıne de Markov. Si la chaıne est dans l'etat k au temps n, elle est dans l'etat k + 1 ou l'etat k ? 1 au temps n + 1. Ainsi le graphe de la chaıne de Markov est simplement le graphe d'adjacence sur Z: il y a un lien de i vers j si et seulement si |i ? j|=1. Ce graphe est clairement connexe: on peut aller de k a l en |k ? l| coups. La chaıne est donc irreductible. Chaque deplacement d'un sommet vers un autre change la parite du sommet. Cela signifie qu'un chemin de 0 a 0 a necessairement une longueur paire: la periode du graphe est donc un multiple de 2. En fait c'est 2 car on peut aller de 0 a 0 en deux coups (par exemple on va en un, puis on revient en zero). D'apres la loi des grands nombres Sn/n tend vers 2/3.1 + 1/3.(?1) = 1/3.
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Universite d'Orleans Master AMA 1 Unite M2MT01 Probabilites Approfondies corrige de l'examen du 26 mai 2005 Exercice Si on pose fn(x) = x + Xn, on a bien Sn+1 = fn+1(Sn), et (fn) est une suite de fonctions aleatoires independantes identiquement distribueees. (Sn) est donc bien une chaıne de Markov. Si la chaıne est dans l'etat k au temps n, elle est dans l'etat k + 1 ou l'etat k ? 1 au temps n + 1. Ainsi le graphe de la chaıne de Markov est simplement le graphe d'adjacence sur Z: il y a un lien de i vers j si et seulement si |i ? j|=1. Ce graphe est clairement connexe: on peut aller de k a l en |k ? l| coups. La chaıne est donc irreductible. Chaque deplacement d'un sommet vers un autre change la parite du sommet. Cela signifie qu'un chemin de 0 a 0 a necessairement une longueur paire: la periode du graphe est donc un multiple de 2. En fait c'est 2 car on peut aller de 0 a 0 en deux coups (par exemple on va en un, puis on revient en zero). D'apres la loi des grands nombres Sn/n tend vers 2/3.1 + 1/3.(?1) = 1/3.
- chaıne de markov de matrice de passage
- donnes par la loi
- ftk mesurable
- xn ?
- temps d'arret
- graphe de la chaıne de markov
- periode du graphe
- chaıne de markov
- tk ≤
Universited’Orleans
UniteM2MT01
Probabilites
Approfondies
corrigedel’examendu26mai2005
Master AMA 1
Exercice Si on posefn(x) =x+Xn, on a bienSn+1=fn+1(Sn), et (fn) est une suite defonctionsaleatoiresindependantesidentiquementdistribueees.(Sn) est donc bienunechaˆnedeMarkov.Silachaˆneestdansl’etatkau tempsn, elle est dansl’etatkttae1+uo’lk1 au tempsn+ 1.Ainsi le graphe de la chaˆne de Markov est simplement le graphe d’adjacence surZy a un lien de: ilivers jsi et seulement si|ij|on peut allergraphe est clairement connexe:=1. Ce dekalen|kl|celaepdntmeLeaecshtauˆps.nirrcodoncitlbdecuqaeu.ehC d’unsommetversunautrechangelaparitedusommet.Celasigniequ’un cheminde0a0anecessairementunelongueurpaire:laperiodedugrapheest doncunmultiplede2.Enfaitc’est2caronpeutallerde0a0endeuxcoups (parexempleonvaenun,puisonrevientenzero).D’apreslaloidesgrands nombresSn/ntend vers 2/3.1 + 1/3.(1) = 1/3. Ils’ensuit queSntend vers l’inni.Donclachaˆnenepassepresquesuˆrementqu’unnombrenidefoisen 0,donclachaˆneesttransiente(etdoncpasrecurrente).
Probleme Partie I 1.Pardenitionde(Yn) P(Y0=y0, Y1=y1, . . . Yn+1=yn+1) X =P(X0=x0, . . . , Xn=xn, Xn+1=xn+1) 11 (x0,...,xn+1)∈f(y0)f(yn+1)
Maintenant, commeXnvsoto,eankraMedenˆahcenu
P(X0=x0, . . . , Xn=xn, Xn+1=xn+1) =P(X0=x0, . . . , Xn=xn)pxn,xn+1,
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