UNIVERSITÉ D'ORLÉANS MA11
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UNIVERSITÉ D'ORLÉANS MA11 Département de mathématiques groupe 4 2009 - 2010 Feuille d'exer i es n° 3 : ensembles et appli ations Exer i e 3. 1. Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On note E\A = A. (1) Montrer que E\ (E\A) = A. (2) Montrer que A ? B ? E\B ? E\A. (3) En déduire que A = B ? E\B = E\A. (4) Montrer que E\ (A ? B) = (E\A) ? (E\B). (5) Montrer que A ?B = A ? B ? A = B. Exer i e 3. 2. Soit E un ensemble et A, B et C trois parties de E. (1) Montrer que A ? (B ? C) = (A ?B) ? (A ? C). (2) Montrer que A ? (B ? C) = (A ?B) ? (A ? C). (3) Montrer que [(A ? B ? A ? C) et (A ? B ? A ? C)] ? B ? C. Exer i e 3. 3.
- restri tion
- bije tives
- appli ation
- département de mathématiques groupe
- bije tion
- r? ?
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E A B E E\A = A
E\(E\A) =A
A⊂ B⇔ E\B⊂ E\A
A = B⇔ E\B = E\A
E\(A∩B) = (E\A)∪(E\B)
A∩B = A∪B⇔ A =B
E A B C E
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
[(A∪B⊂A∪C) (A∩B⊂A∩C)]⇒ B⊂ C
E ={1,a,b} F ={2,a,b}
P (E∩F) =P (E)∩P (F)
X Y
P (X∩Y) =P (X)∩P (Y)
P (X)∪P (Y)⊂P (X∪Y)
E A B C E
A∩B = A∩C A∩B =A∩C
A B AΔB = (A∪B)\(A∩B)
AΔB = A∩B ∪ B∩A
E ={1;2;3;4} F ={a;b;c;d}
f :E→F f (1) =c f (2) =a f (3) = d f (4) = c
f (A ) f Ei
A ={1;2;3} A ={1;2;4} A ={1;4} A ={2;4}1 2 3 4
−1f (B ) f Fi
B ={a;b;d} B ={a;d} B ={a;c} B = F1 2 3 4
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de2f R R f (x) =x
A = [−3;−1] B = [−2;1]
f (A) f (B) f (A∪B) f (A∩B)
f :E→F
∀A,B∈P (E),A⊂B⇒f (A)⊂ f (B)
∀A,B∈P (E),f (A∪B) = f (A)∪f (B)
∀A,B∈P (E),f (A∩B)⊂f (A)∩f (B)
−1 −1 −1∀A,B∈P (F),f (A∪B) = f (A)∪f (B)
−1 −1 −1∀A,B∈P (F),f (A∩B) = f (A)∩f (B)
−1 −1∀A∈P (F),f A =f (A)
E
f :P (E)→P (E) ∀A∈P (A),f (A) = E\A
f
f
E a A
f (A) = A a∈A
f :P (E)→P (E)
f (A) = E\A a∈/ A
f
f
3f R R f (x) =x −x
f
f
−1f ([−1;1]) f (R )+
f :N→N f (n) =n+1
f :N→N f (n) =n−1
f :Z→Z f (n) =n+1
2 2f :R →R f (x,y) = (x−y,x+y)
2 2 2f :R →R f (x,y) = (xy,xy )
f ([−1;1]×[−1;1])
f
∗ ∗ ∗ ∗g f R ×R R ×R
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elle-m?me.f R [−1,1] f (x) = sin(πx)
f
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g f − , g
2 2
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f R R f (x) =
21+x
f
f (R)
g f [−1;1] g
f :E→F A B E
f ⇒f (A∩B) =f (A)∩f (B)
f :E→F A E
f (E\A) ⊂ F \f (A) F \
f (A)⊂f (E\A)
f f (E\A) =F\f (A)
E A B E
A 1 E {0;1}A
1 (x) = 1 x∈AA
1 (x) = 0 x∈/ AA
A = B⇔ 1 = 1A B
1 = 1 1A∩B A B
1 = 1 +1 −1A∪B A B A∩B
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