Universite d'Orleans Licence semestre
3
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Français
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2005
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence semestre 2 Unite L1MT03 Structures mathematiques Corrige de l'examen du 27 mai 2005 1. Question de cours: voir le cours. 2. (a) Pour x,y reels, xy?x? y+2 est bien un reel, donc ? est bien une loi de composition interne. Il est facile de voir que pour tous x,y reels, x ? y = y ? x. Posons F (x, y, z) = (x ? y) ? z: on a F (x, y, z) = (xy ? x? y + 2)z ? (xy ? x? y + 2)? z + 2 = xyz ? xz ? yz + 2z ? xy + x+ y ? z = xyz ? (xz + xy + yz) + (x+ y + z) Comme ? est commutative, x ? (y ? z) = (y ? z) ? x = F (y, z, x). D'apres le calcul fait ci-dessus, F (x, y, z) = F (y, z, x), ce qui montre que ? est associative. (b) Il est facile de voir que u = 2 est la seule solution. (c) Reste a verifier que 2 est bien l'element neutre.
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Universite d'Orleans Licence semestre 2 Unite L1MT03 Structures mathematiques Corrige de l'examen du 27 mai 2005 1. Question de cours: voir le cours. 2. (a) Pour x,y reels, xy?x? y+2 est bien un reel, donc ? est bien une loi de composition interne. Il est facile de voir que pour tous x,y reels, x ? y = y ? x. Posons F (x, y, z) = (x ? y) ? z: on a F (x, y, z) = (xy ? x? y + 2)z ? (xy ? x? y + 2)? z + 2 = xyz ? xz ? yz + 2z ? xy + x+ y ? z = xyz ? (xz + xy + yz) + (x+ y + z) Comme ? est commutative, x ? (y ? z) = (y ? z) ? x = F (y, z, x). D'apres le calcul fait ci-dessus, F (x, y, z) = F (y, z, x), ce qui montre que ? est associative. (b) Il est facile de voir que u = 2 est la seule solution. (c) Reste a verifier que 2 est bien l'element neutre.
- universite d'orleans licence
- x? x?
- xyz ?
- solutions pour le couple
- a? ?
- nn ?
- entier naturel
Universited’Orleans
UniteL1MT03
Structuresmathematiques
Corrigedel’examendu27mai2005
Licence semestre 2
1. Questionde cours:voir le cours. 2. (a)Pourx,yreels,xyxyernd,lebtseunei+2con?est bien une loi de composition interne.Il est facile de voir que pour tousx,ys,eler x ? y=y ? x. PosonsF(x, y, z) = (x ? y)? za: on F(x, y, z) = (xyxy+ 2)z(xyxy+ 2)z+ 2 =xyzxzyz+ 2zxy+x+yz =xyz(xz+xy+yz) + (x+y+z) Comme?est commutative,x ?(y ? z) = (y ? z)? x=F(y, z, x). D’apreslecalculfaitci-dessus,F(x, y, z) =F(y, z, x), ce qui montre que?est associative. (b) Ilest facile de voir queu= 2 est la seule solution. (c)Resteaverierque2estbienl’elementneutre.PourtoutxdansR, on a 2? x=x ?2 = 2xx2 + 2 =x. k 3. (a)Montrons que pour tout entier naturelk, 21 +k. Pourk= 0 0 2 =11 + 0.Maintenant, pourkprla0,eetshrepoirete:editair k+1k 2 =2.22(k+ 1) = 2k+ 2k+ 2 = (k+ 1) + 1. n (b) Soitnun entier naturel non nul tel quen. Soitdivise 2pun diviseur n n premier den. Commepdivisenetn,divise 2p. Maisdivise 2 n le seul diviseur premier de 2est 2, doncpAinsi 2 est le seul= 2. diviseur premier den, ce qui entraˆne l’existence d’un entierknon k nul tel quen.= 2 k Reciproquement,sinpour un certain entier= 2knon nul, on a k k n2k2k k 2/n= 2/22 =∈Ncar 2k >0. 4. Soientaetbdeux tels entiers:comme 7 diviseaetb, il existe des entiers 0 00 00 0 aetbaveca= 7aetb= 7b. Ona (a∧b) = 7(a∧b) et (a∨ 0 00 00 0 b) = 7(a∨bod’u,)a∧b= 1 eta∨b01R.=rpqoeicnt,suemei 0 00 0 a∧b= 1 eta∨b= 10, on a biena∧b= 7 eta∨b= 70 On s’est 0 00 0 doncrameneaunproblemeequivalent:resoudrea∧b= 1 eta∨b=
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