Universite d'Orleans Licence de Mathematiques
7
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Français
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2007
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite L6MT02 Integration, Fourier, Probabilites correction de l'examen du 24 mai 2007 Exercice I Si une variable aleatoire X est a valeurs dans N?, alors on a 1 = +∞∑ n=1 P (X = n), soit dans ce cas precis 1 = ? +∞∑ n=1 1 n6 . Ainsi, seule la valeur ? = ?(6) ?1 peut convenir. Par ailleurs, si l'on pose m = ∑+∞n=1 ?(6)?1 1n6 ?n, il est facile de voir que m est une loi de probabilite telle que toute variable aleatoire X avec PX = m verifie la condition donnee. X? est positive : avec le theoreme de transfert, on a EX6 = +∞∑ n=1 n6P(X = n) +∞∑ n=1 ?(6)?1 1n6?? . C'est une serie de Riemann qui converge si et seulement si 6?? > 1, soit ? < 5. Exercice II 1. (a) Pour x ? [0, 1[, on a ? log(1? x) = +∞∑ n=1 xn n = x+ +∞∑ n=2 xn n ≤ x+ +∞∑ n=2 xn 2 ≤ x+ 12 x2 1? x 1 Tournez la page S.
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Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite L6MT02 Integration, Fourier, Probabilites correction de l'examen du 24 mai 2007 Exercice I Si une variable aleatoire X est a valeurs dans N?, alors on a 1 = +∞∑ n=1 P (X = n), soit dans ce cas precis 1 = ? +∞∑ n=1 1 n6 . Ainsi, seule la valeur ? = ?(6) ?1 peut convenir. Par ailleurs, si l'on pose m = ∑+∞n=1 ?(6)?1 1n6 ?n, il est facile de voir que m est une loi de probabilite telle que toute variable aleatoire X avec PX = m verifie la condition donnee. X? est positive : avec le theoreme de transfert, on a EX6 = +∞∑ n=1 n6P(X = n) +∞∑ n=1 ?(6)?1 1n6?? . C'est une serie de Riemann qui converge si et seulement si 6?? > 1, soit ? < 5. Exercice II 1. (a) Pour x ? [0, 1[, on a ? log(1? x) = +∞∑ n=1 xn n = x+ +∞∑ n=2 xn n ≤ x+ +∞∑ n=2 xn 2 ≤ x+ 12 x2 1? x 1 Tournez la page S.
- universite d'orleans licence de mathematiques
- critere special des series alternees
- dx ≥
Universit´ed’Orl´eans
Exercice I
Unite´L6MT02
Inte´gration,Fourier,Probabilite´s
correction de l’examen du 24 mai 2007
∗ Siunevariableal´eatoireXsnaelavdsruest`aN, alors on a
+∞ X 1 =P(X=n), n=1
LicencedeMath´ematiques
+∞ X 1 −1 soitdanscecaspr´ecis1=γ .Ainsi, seule la valeurγ=ζ(6) peut 6 n n=1 P +∞ −1 1 convenir. Par ailleurs, si l’on posem=ζ(6)6δn, il est facile de voir n=1n quemeriediolenulibaborpsteailbveraaeotae´ltellit´etoutequeXavecPX=m ve´rifielaconditiondonne´e. α Xaon,trefsnartedeme`leth´eorive:avecseptsoti
+∞+∞ X X 1 6 6−1 EX=nP(X=n)ζ(6). 6−α n n=1n=1 C’estunes´eriedeRiemannquiconvergesietseulementsi6−α >1, soitα <5.
Exercice II
1.
(a) Pourx∈[0,1[, on a
−log(1−x)
1
=
=
≤
≤
+∞ X n x n n=1 +∞ n X x x+ n n=2 +∞ n X x x+ 2 n=2 2 1x x+ 2 1−x
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