Universite d'Orleans Licence de Mathematiques
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite MA 6.06 Mesure et Probabilites corrige du devoir en temps libre no 2 Probleme 1. Les variables aleatoires (X?i )i≥1 sont deux a deux independantes, car elles sont fabriquees a partir des variables aleatoires (Xi)i≥1 qui sont elles memes deux a deux independantes. On a donc Var S?n = n∑ i=1 Var X?i ≤ n∑ i=1 E (X?i )2 ≤ n∑ i=1 E X2i 11Xi≤i ≤ n∑ i=1 E X2111X1≤n = nE X2111X1≤n 2. On a pour tout n |un ? ?n| ≤ 1. Comme ?n tend vers l'infini, on a un ? ?n = o(?n), soit un ? ?n. 1un ? ??n et que la serie a termespositifs ??n est convergence, on a l'equivalence des restes : +∞∑ n=N 1 un ? +∞∑ n=N ??n = (1? ??1)?1??N ? (1? ??1)?1 1uN . 3. La suite uN = ∑+∞ n=N 1 un converge lorsque N tend vers l'infini, elle estdonc bornee par une constante C. 1 Tournez la page S.V.P.
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Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite MA 6.06 Mesure et Probabilites corrige du devoir en temps libre no 2 Probleme 1. Les variables aleatoires (X?i )i≥1 sont deux a deux independantes, car elles sont fabriquees a partir des variables aleatoires (Xi)i≥1 qui sont elles memes deux a deux independantes. On a donc Var S?n = n∑ i=1 Var X?i ≤ n∑ i=1 E (X?i )2 ≤ n∑ i=1 E X2i 11Xi≤i ≤ n∑ i=1 E X2111X1≤n = nE X2111X1≤n 2. On a pour tout n |un ? ?n| ≤ 1. Comme ?n tend vers l'infini, on a un ? ?n = o(?n), soit un ? ?n. 1un ? ??n et que la serie a termespositifs ??n est convergence, on a l'equivalence des restes : +∞∑ n=N 1 un ? +∞∑ n=N ??n = (1? ??1)?1??N ? (1? ??1)?1 1uN . 3. La suite uN = ∑+∞ n=N 1 un converge lorsque N tend vers l'infini, elle estdonc bornee par une constante C. 1 Tournez la page S.V.P.
- q?un ?
- universite d'orleans licence de mathematiques
- var q?un ≤
- theoreme de cesaro
- probabilites
- famille denombrable d'evenements de probabilites
- qk ≤
Universited’Orleans
UniteMA6.06
MesureetProbabilites
o corrigedudevoirentempslibren2
LicencedeMathematiqu
Probleme 1.Lesvariablesaleatoires(X)i1tdeuxadsondnepetnaixueedncas,r i ellessontfabriqueesapartirdesvariablesaleatoires(Xi)i1qui sont ellesmˆemesdeuxadeuxindependantes.Onadonc
n X VarS= VarX n i i=1 n X 2 E(X) i i=1 n X 2 EXi1Xii i=1 n X 2 EX11X1n i=1 2 =nEX1 1X1n
n n 2. Ona pour toutn|un| 1. Commetend vers l’inni, on a n nn1n un=o(), soitun.etquesemretaeiresal un n positifscoste:esresntceesdvaleequila’,enoegcnvnre +∞+∞ X X 1 1 n11N11 = (1)(1). unuN n=N n=N P +∞1 3. LasuiteuNlorsque= convergeNtend vers l’inni, elle est n=N un doncborneeparuneconstanteC.
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