Université Claude Bernard Mathématiques M2 Convexité en grande dimension et théorie quantique de l'information
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Université Claude Bernard Mathématiques M2 Convexité en grande dimension et théorie quantique de l'information Examen final : corrigé succinct Exercice 1 Comme t1P1 + · · ·+ tkPk contient un cube de côté 10?3, on a une minoration de sa largeur moyenne : w(t1P1 + · · ·+ tkPk) > w(x+ [0, 10 ?3]n). La largeur moyenne est 1-homogène et invariante par translation, donc w(x+ [0, 10?3]n) = 10?3 2 w([?1, 1]n). La largeur moyenne de Bn∞ se calcule via les gaussiennes (G est un vecteur aléatoire de loi ?n) et vaut w([?1, 1]n) = 1 ?n E?G?1 ? c √ n. Par ailleurs, w(t1P1 + · · ·+ tkPk) = t1w(P1) + · · ·+ tkw(Pk) 6 maxw(Pi), donc il existe i tel que w(Pi) > c ?√n. Enfin, si N est le nombre de sommets de Pi, on peut majorer w(Pi) = 1 ?n E max v sommet de Pi ?v,G?. La variance de ?v,G? vaut ?v?2 = √ n. L'espérance du maximum de N gaussiennes de variance √ n est majoré par C √ n √ logN , et donc w(Pi) 6 C √ logN.
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Université Claude Bernard Mathématiques M2 Convexité en grande dimension et théorie quantique de l'information Examen final : corrigé succinct Exercice 1 Comme t1P1 + · · ·+ tkPk contient un cube de côté 10?3, on a une minoration de sa largeur moyenne : w(t1P1 + · · ·+ tkPk) > w(x+ [0, 10 ?3]n). La largeur moyenne est 1-homogène et invariante par translation, donc w(x+ [0, 10?3]n) = 10?3 2 w([?1, 1]n). La largeur moyenne de Bn∞ se calcule via les gaussiennes (G est un vecteur aléatoire de loi ?n) et vaut w([?1, 1]n) = 1 ?n E?G?1 ? c √ n. Par ailleurs, w(t1P1 + · · ·+ tkPk) = t1w(P1) + · · ·+ tkw(Pk) 6 maxw(Pi), donc il existe i tel que w(Pi) > c ?√n. Enfin, si N est le nombre de sommets de Pi, on peut majorer w(Pi) = 1 ?n E max v sommet de Pi ?v,G?. La variance de ?v,G? vaut ?v?2 = √ n. L'espérance du maximum de N gaussiennes de variance √ n est majoré par C √ n √ logN , et donc w(Pi) 6 C √ logN.
- ??p · ?v
- largeur moyenne de bn∞
- cv ??p
- vecteur aléatoire de loi ?n
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UniversitÉ Claude BernardMathÉmatiques M2 ConvexitÉ en grande dimension et thÉorie quantique de l’information Examen final : corrigÉ succinct Exercice 1 −3 Commet1P1+∙ ∙ ∙+tkPkcontient un cube de cÔtÉ10, on a une minoration de sa largeur moyenne : −3n w(t1P1+∙ ∙ ∙+tkPk)>w(x+ [0,10 ]). La largeur moyenne est1-homogÈne et invariante par translation, donc −3 10 −3n n w(x+ [0,) =10 ]w([−1,1] ). 2 n La largeur moyenne deBse calcule via les gaussiennes (Gest un vecteur alÉatoire de loiγn) et vaut ∞ 1√ n w([−1,1] )=EkGk1∼c n. βn Par ailleurs,w(t1P1+∙ ∙ ∙+tkPk) =t1w(P1) +∙ ∙ ∙+tkw(Pk)6maxw(Pi), donc il existeitel que √ 0 w(Pi)>c n. Enfin, siNest le nombre de sommets dePi, on peut majorer 1 w(Pi) =Emaxhv, Gi. βn vsommet dePi √ √ La variance dehv, Givautkvk2=n. L’espÉrance du maximum deNgaussiennes de variancenest √ √ majorÉ parC nlogN, et donc p w(Pi)6ClogN . 0 0 On en dÉduitN>exp(C n)pour une constanteC.
Exercice 2 1. Comme|xihx|est un État pur, il est sÉparable si et seulement si il est de la forme|uihu| ⊗ |vihu| d pouru, v∈C. Autrement dit,|xihx|est sÉparable si et seulement sixest un tenseur pur, i.e. si et seulement siλmax(x) = 1. 2. LadÉcomposition de Schmidt correspond À la dÉcomposition en valeurs singuliÈres si on interprÈte xcomme une matrice. Ainsi le plus grand coefficient de Schmidt correspond au carrÉ de la plus grande valeur singuliÈre, c’est-À-dire À la normed’opÉrateur. La norme d’opÉrateur d’une matriceA est kAkop= maxkAuk2= max|hAu, vi|= max|trA|uihv||. d dd u∈C,kuk2=1u,v∈C,kuk2=kvk2=1u,v∈C,kuk2=kvk2=1
Exercice 3 d dd dt On noteH=C⊗C, etT:M(C)→M(C)l’application de transpositionT(A) =A(attention : c’est bien la transposition et non la transconjugaison), etT1=T⊗IdM(C):M(H)→M(H)la d transposition partielle. 1. Siρest sÉparable, il s’Écrit comme une combinaison convexe d’États produits. La transposition t ⊗ρ2) =ρ1aussi un partielle d’un État produit est encore un État, carT1(ρ1⊗ρ2, doncT1(ρ)est État.
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Id 2. Oncalcule la transposition partielle deρ=t+ (1−t)|xihx. La matrice deρest 4 t/4 + (1−t)/2 00 (1−t)/2 0t/04 0 . 0 0t/4 0 (1−t)/0 (12 0−t)/2 +t/4 Pour obtenir la matrice deT1(ρ)on transpose chaque bloc2×2 t/4 + (1−t)/0 02 0 0t/4 (1−t)/2 0 . 0 (1−t)/2t/4 0 0 00 (1−t)/2 +t/4 Cette matrice est positive si et seulement si le bloc central2×2l’est, i.e.t>2/3. Par la question 1,ρest donc intriquÉ lorsquet <2/3.
Exercice 4 1. Supposonsle lemme montrÉ lorsqueBest diagonale À coefficients rÉels positifs. SoitA, B, Cquel-conques vÉrifiant l’hypothÈse du lemme; par la dÉcomposition en valeurs singuliÈres, il existe des ∗ matrices unitairesU, Vtelles queU BVsoit diagonale positive. On Écrit alors ∗ ∗∗ U0A BU0U BVU AU ∙ ∙= ∗ ∗∗ ∗∗ 0V BC0V CVV VB U La matrice de droite est positive (on a conjuguÉ une matrice positive par une matrice unitaire), ∗2∗ ∗ donc par le lemme (cas «Bdiagonal »), on akU BVk6kU AUkp∙ kV CVkp. Mais la norme p 2 k.kpest invariante par multiplication par un unitaire, donckBk6kAkpkCkp. p aiibiA B 2. Lamatrice estune sous-matrice de la matrice, donc elle est positive et son ∗ biciiB C dÉterminant aussi. 3. Ona !1/2 !1/2 X XX X p/2p p p/2p p kBk=b6a c6a c p iii iiii ii i ii i par l’inÉgalitÉ de Cauchy–Schwarz. Pour finir, diag(A)sp(A)pour une matrice auto-adjointeA, P 1/p p d’oÙ on tire que(|aii|)6kAkp, et la preuve du lemme. 4. Parla dÉcomposition en valeurs singuliÈres, d {A∈M(C),kAk161}= conv{±|xihy|;kxk2=kyk2= 1}. Par le thÉorÈme spectral, d {A∈Msa(C),kAk161}= conv{±|xihx|;kxk2= 1}. On en dÉduit le rÉsultat (la fonction convexek ∙ kpatteignant son maximum sur un point extrÉmal). |xihx| |yihx| 5. Lamatrice|uihu|s’Écrit par blocs commeM=. Cette matrice est positive, donc |xihy| |yihy| (Φ⊗Id)(M)aussi, et donc Φ(|xihx|) Φ(|yihx|) >0 Φ(|xihy|) Φ(|yihy|) Le lemme implique que 2 2sa y|)k6kΦk. kΦ(|xihy|)k6kΦ(|xihx|)kpkΦ(|yihp1→p p sa On en dÉduit donckΦk1→p6kΦk. L’autre inÉgalitÉ est Évidente. 1→p
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Exercice 5 1. Soit{pi, ρi}iun ensemble admissible. On dÉcompose chaque Étatρicomme combinaison convexe P d’États purs :ρi=pijρij. Alors{pipij, ρij}i,jest un ensemble admissible pour lequel la quantitÉ j À maximiser est plus grande que pour{pi, ρi}i: le premier terme est inchangÉ et le terme prÉcÉdÉ du signe−a diminuÉ par concavitÉ de l’entropie. 2 2. Soit{pi, ρi}iun ensemble admissible, avecpi>0et au moinsd+ 1ÉlÉments. Comme la dimension 2d de l’ensemble des États estd−1(c’est de codimension 1 dansMsa(C)), il existe une liaison affine P P entre lespi: il existeqiavecqi= 0etqiρi= 0. L’ensemble{pi+tqi, ρi}iest admissible lorsque pi+tqi>0. De plus, la fonction !! X X t7→SΦ (pi+tqi)ρi−(pi+tqi)S(Φ(ρi)) i i est affine (le premier terme ne dÉpend pas det) et donc maximale au bord de l’ensemble dest admissibles. Mais pour un telt0,pi+t0qi= 0pour un certaini. Ainsi on a diminuÉ de1la longueur de l’ensemble{pi, ρi}i. En itÉrant ce processus, on construit 2 un ensemble admissible de longueurdpour lequel la quantitÉ À maximiser est supÉrieure ou Égale À ce qu’elle valait pour{pi, ρi}i.
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