Universite Claude Bernard Master Algebre
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Niveau: Supérieur, Master
Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?4 : Exercice 1. 1. Montrer que tout sous-groupe de (Z,+) est de la forme nZ avec un entier strictement positif. En deduire l'identite de Bezout. 2. Montrer que (Q?,?) n'est pas de type fini. 3. On considere le groupe G = (R,+) (a) Montrer que les sous-groupes de G sont soit monogenes soit dense. (b) Donner un exemple d'un sous-groupe de G dense et de type fini. (c) Tous les sous-groupes de G sont-ils de type fini ? Exercice 2. Soit G le groupe additif (Q,+). 1. Montrer que pour tout a ? Q?, l'application Q ?? Q, x 7? ax est un automorphisme de G. 2. En deduire que Aut(G) est isomorphe a Q?. Exercice 3. Soit G un groupe est G1, · · · , Gn ses sous-groupes. 1. Montrer que si les sous-groupes G1, · · · , Gn satisfont (a) pour i 6= j, tout element de Gi et celui de Gj commutent et (b) tout element de G peut s'ecrire comme le produit x1 · · ·xn (xi ? Gi) d'une maniere unique, alors l'application suivante est un isomorphisme: f : G1 ? · · · ?Gn ?? G; (x1
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- fiche - matière potentielle : n?1
- fiche - matière potentielle : n?4
Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?4 : Exercice 1. 1. Montrer que tout sous-groupe de (Z,+) est de la forme nZ avec un entier strictement positif. En deduire l'identite de Bezout. 2. Montrer que (Q?,?) n'est pas de type fini. 3. On considere le groupe G = (R,+) (a) Montrer que les sous-groupes de G sont soit monogenes soit dense. (b) Donner un exemple d'un sous-groupe de G dense et de type fini. (c) Tous les sous-groupes de G sont-ils de type fini ? Exercice 2. Soit G le groupe additif (Q,+). 1. Montrer que pour tout a ? Q?, l'application Q ?? Q, x 7? ax est un automorphisme de G. 2. En deduire que Aut(G) est isomorphe a Q?. Exercice 3. Soit G un groupe est G1, · · · , Gn ses sous-groupes. 1. Montrer que si les sous-groupes G1, · · · , Gn satisfont (a) pour i 6= j, tout element de Gi et celui de Gj commutent et (b) tout element de G peut s'ecrire comme le produit x1 · · ·xn (xi ? Gi) d'une maniere unique, alors l'application suivante est un isomorphisme: f : G1 ? · · · ?Gn ?? G; (x1
- cokerf2
- cokerf1
- k? ??
- h1 cokerf1
- formule de plancherel
- unique x? ?
- produit x1
- b1?? cokerf2 b2??
- groupe fini
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Français
Universit´eClaudeBernard Master1Alg`ebre
◦ FICHE N 4 :
Exercice 1. 1. Montrerque tout sous-groupe de (Z,+) est de la formenZavec un entier strictement positif.En d´eduirel’identit´edeBe´zout. ∗ 2. Montrerque (Q,×) n’est pas de type fini. 3.Onconside`relegroupeG= (R,+) (a) Montrerque les sous-groupes deGnomte`gossendtioense.onsoits (b) Donnerun exemple d’un sous-groupe deGdense et de type fini. (c) Tousles sous-groupes deGsont-ils de type fini ?
Exercice 2.SoitGle groupe additif (Q,+). ∗ 1. Montrerque pour touta∈Q, l’applicationQ−→Q, x7→axest un automorphisme deG. ∗ 2.End´eduirequeAut(Gestia`)rphesomoQ.
Exercice 3.SoitGun groupe estG1,∙ ∙ ∙, Gnses sous-groupes. 1. Montrerque si les sous-groupesG1,∙ ∙ ∙, Gnsatisfont (a) pouri6=jemtnlee´uo´tdet,Giet celui deGjcommutent et (b)toute´l´ementdeGerocmmlest´’ceireupeproduitx1∙ ∙ ∙xn(xi∈Gimenu`ina’d)e,euerquni alors l’application suivante est un isomorphisme: f:G1× ∙ ∙ ∙ ×Gn−→G; (x1,∙ ∙ ∙, xn)→7−x1∙ ∙ ∙xn.
2. Montrer queGest isomorphe au produit directG1×G2×× ∙∙ ∙Gnsi et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites: (a) Pourtout 1≤i≤n,Gi G. (b)G=G1G2∙ ∙ ∙Gn. (c) Pourtout 1< i≤n, (G1∙ ∙ ∙Gi−1)∩Gi={e}.
Exercice 4. 1. Soitnun entier tel quen >1. Montrerque le duale deZ/nZ`arphesomoitseZ/nZ. b cc 2. SoitG1, G22 groupes finis et on poseG=G1×G2que le duale. MontrerGorphe`aetssimoG1×G2. 3.Ende´duirequeledualed’ungroupeab´elienfiniGphe`omortssiaeG.
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b ab Exercice 5.SoitGMontrer queun groupe fini.Gisomeste`aorphG:=G/[G, G]. b 1. Dansle casG=H8, montrer queGest isomorphe au groupe de KleinV4. b 2. Dansle casG=Dn, montrer queG`aherpmosotiesV4sinee`taprietsaZ/2Zsinest impaire.
Exercice 6.Soitnun entier strictement positif etKAdmettons le fait queun corps commutatif.SLn(Fq) estengendr´eparlestransvections xi,j(t) :=1n+tEi,jt∈K,1≤i6=j≤n. −1−1 1. Pouri, j, kdistincts, calculerxi,j(a)xj,k(b)xi,j(a)xj,k(bEnsuite, dans le cas) .n= 2, calculer −1 c0c0 −1 −1xi,j(a)−1xi,j(a) pour(i, j) = (1,2) et (2,1). 0c0c 2.Ende´duirequeD(SLn(K)) =SLn(K) si (n,|K|)6= (2,2),(2,3). D’ici, on suppose que (n,|K|)6= (2,2),(2,3). ∗ 3. Montrerque tout morphisme deSLn(K) dansCest trivial. ∗ ∗∗ 4. (a)Montrer que pour tout morphismeχ:GLn(K)−→C, il existe un uniqueχ:K−→Ctel queχ=χ◦det. (b)D´ecrireχdans le casK=CetKfini.
Exercice 7. a) SoitGtner.noMleeian´b12nordreed’oroupgnuuerqGest un produit semi-direct et qu’il y a 3 possibilit´es(`aisomorphismepre`s)(compter les2−Sylow et3−Sylow). 4 3−1 b) Montrerqueha, b:a=b=a bab= 1iest d’ordre 12 et isomorphe au sous-groupe de SL2(C) engendre´parlesmatrices: 0 1j0 , . 2 −1 00j 2 26 c) Montrerqueha, b:a=b= (ab) =1idro’21er.dro’dtsepheaomoretisre12ardl´idepudeguor d)Ve´rifierquelegroupeA4estltaorsi`imepeossibilit´e.
Exercice 8.Montrer queS5`esspoussoundepudeg-orer02o’dr.
Exercice 9.SoitGun groupe d’ordre 20 etn2le nombre de 2-Sylow sous-groupes deG. 1. Montrerqu’il existe un seul 5-Sylow sous-groupeSdeGet que le nombren2age´1a`ltseuo.5 2. Supposonsquen2= 1 et notons le seul 2-Sylow sous-groupe deGparT. (a) MontronsqueGisomorphe`aetsS×T. (b)D´eterminerlespossiblesstructuresdeG. ∼ 3. Supposonsquen2= 5 et notons un 2-Sylow sous-groupe deGparTque. MontrerG=SoT.
Exercice 10.Soitpun nombre premier.On pose :Fp:=Z/pZ.
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a) Montrerque le sous-groupeUde SL2(Fpe)gnnerdamrlpa´e:ceriat 1 1 0 1 est unp−Sylow. b)D´eterminerlenormalisateurdeUdans SL2(Fptene)edmbrelenouired´edp−Sylow de SL2(Fp). c) SoitGun groupe fini etPunp−Sylow deG. MontrerqueN N(P) =N(Pvte)ire´tbesnierqfiec’ue le cas pours SL2(Fp).
Exercice 11.Soitpun nombre premier etU={A= (ai,j)1≤i,j≤n|ai,i= 1, ai,j= 0 (i > j)}un sous-groupe deGLn(Fp). SoitGunp-sous-groupe deGLn(Fp). 1. MontrerqueUest unp-Sylow sous-groupe deGLn(Fp). 2.Ende´duirequeGnsaus-ouorome`phesitsrguoepedU.
Exercice 12.Soitpun nombre premier. 1.Calculerlenombredes´el´ementsdeSpd’ordrep. 2.Ende´duirelenombredep-Sylow sous-groupe deSp. 3.Al’aideduthe´ore`medeSylow,retrouverlaformuledeWilson(p−1)!≡ −1 modp.
b Exercice 13.SoitGgrunpeouilnebae´tnfieiGupedegroractescaedsere`lG. Pourf∈CGefid´on,tni ˆb larreatedeFourinsform´ef∈CGpar X −1 b f(χ) :=f(x)χ(x) =|G|hf, χi. x∈G Rappelons que l’on anolahtgo’drooisnelatr´eit: b 0 I. Pourχ, χ∈G, on a ( X X |G|χ= 1, 0 χ(x)χ(x) =|G|δχ,χ,en particulier, χ(x) = 0 0χ6= 1. x∈G x∈G II. Pourx, y∈G, on a ( ( X X |G|x=y,|G|x= 1, χ(x)χ(yen particulier,) =χ(x) = 0x6=y0x6= 1. b b χ∈G χ∈G
b∼ OnremarquequeII.estuncorollairedeI.grˆace`alae´ibudaltiG=G. (Montrer-le.) b 1. SoitNun entier tel queN >1. Expliciterfdans le casG=Z/NZ. D’ici,onconsid`ereungroupeab´elienfinige´ne´ral.
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2. Montrerlaformule d’inversion X X 1 b −1 f=hf, χiχ=f(χ)χ . |G| b b χ∈G χ∈G
3. Montrerlaformule de Plancherel b hf , gbib=|G|hf, giG. G 4. Pourf, g∈CGfieinno´d,lteproduit de convolutionf∗gdefetgpar X X −1−1 (f∗g)(x) =f(xy)g(y) =f(y)g(y x). y∈G y∈G Montrer la formule suivante: [b f∗g=fbg. b Indication: Calculerhf∗g, χipourχ∈G. ⊥ SoitHun sous-groupe deG. L’orthogonaldeHeon´t,Hrapi,e´nfisedt ⊥ b H:={χ∈G|χ(H) = 1}. b∼[ ⊥ ⊥⊥ 5. MontrerqueHest un sous-groupe deGet queH=G/H. Enparticulier,|H|=|G|/|H|. 6. Soitf∈CGetHun sous-groupe deG. Montrerlaformule de Poisson X X 1 b f(x) =f(χ). ⊥ |H| ⊥ x∈H χ∈H Indication: Appliquerla formule de Plancherel en prenant pourgla fonction indicatrice deH.
Exercice 14.SoitGi, Hi(1≤i≤3)grouseihmseselrpmosopoqunssneipuS.aseple´bfi:Gi−→Hiet lediagrammecommutatifsuivantaveclesdeuxlignesexactessontdonne´es: a1a2 // //// G1G2G30 . b1b2 // //// 0H1H2H3 1. Montrerquea1(Kerf1)⊂Kerf2et quea2(Kerf2)⊂Kerf3. 0 0 etaMontrer que la suit 2. Posonsa:=a1|Kerf2:=a2|Kerf2suivante est exacte:. e 11 0 0 a a 1 2 Kerf1−→Kerf2−→Kerf3. 0 Montrer aussi que sia1est injectif,al’est aussi. 1 Commeb1◦f1(G1)⊂Imf2etb2◦f2(G2)⊂Imf3, ils induisent les morphismes b1: Cokerf1−→Cokerf2, b2: Cokerf2−→Cokerf3.
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