Universite Claude Bernard Master Algebre
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Niveau: Supérieur, Master
Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?6 : Exercice 1. Montrer que les seuls solutions de y2 + 4 = x3 dans Z sont (±11,5) et (±2,2). Exercice 2. Calculer le reste de la division euclidienne de (cos ? +X sin ?)n par X2 + 1. Exercice 3. Montrer que dans l'anneau K[T 2, T 3], T 5 et T 6 n'ont pas de PGCD. D'ici, K designe un corps commutatif. Exercice 4. Montrer que l'anneau C[X,Y,Z]/(XZ ? Y 2) n'est pas factoriel. Exercice 5.(Critere de reduction) Soient A un anneau factoriel, K son corps des fractions, p un element irreductible de A et K le corps des fractions de A/(p). Soit P = ∑ni=0 aiX i ? A[X] tel que p ? an et P = ∑ni=0 aiX i est un polynome irreductible de K[X], ou ai est l'image de ai par la projection canonique A? A/(p). Montrer que P est irreductible dans K[X] (et donc dans A[X] si le pgcd de ses coefficients est 1). En considerant la reduction modulo 3, montrer que X3 ?X + 2 est irreductible dans Z[X].
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- fiche - matière potentielle : n?6
Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?6 : Exercice 1. Montrer que les seuls solutions de y2 + 4 = x3 dans Z sont (±11,5) et (±2,2). Exercice 2. Calculer le reste de la division euclidienne de (cos ? +X sin ?)n par X2 + 1. Exercice 3. Montrer que dans l'anneau K[T 2, T 3], T 5 et T 6 n'ont pas de PGCD. D'ici, K designe un corps commutatif. Exercice 4. Montrer que l'anneau C[X,Y,Z]/(XZ ? Y 2) n'est pas factoriel. Exercice 5.(Critere de reduction) Soient A un anneau factoriel, K son corps des fractions, p un element irreductible de A et K le corps des fractions de A/(p). Soit P = ∑ni=0 aiX i ? A[X] tel que p ? an et P = ∑ni=0 aiX i est un polynome irreductible de K[X], ou ai est l'image de ai par la projection canonique A? A/(p). Montrer que P est irreductible dans K[X] (et donc dans A[X] si le pgcd de ses coefficients est 1). En considerant la reduction modulo 3, montrer que X3 ?X + 2 est irreductible dans Z[X].
- racine commune
- reste dans la division euclidienne
- ?2 ?
- solution de l'equation dans z3
- lignes de la matrice de sylvester
- critere de reduction
- corps de fractions
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Français
Universit´eClaudeBernard Master1Alg`ebre
○ FICHE N 6 :
2 3 Exercice 1.Montrer que les seuls solutions dey+4=xdansZsont(±11,5)et(±2,2).
n2 Exercice 2.Calculer le reste de la division euclidienne de(cosθ+Xsinθ)parX+1.
2 35 6 Exercice 3.Montrer que dans l’anneauK[TT ,],TetTn’ont pas de PGCD. D’ici,Kesd´neigun corps commutatif.
2 Exercice 4.Montrer que l’anneauC[X, Y, Z]~(XZ−Y)n’est pas factoriel.
Exercice 5.(udtcree´oinCeredrit`) SoientAun anneau factoriel,Kson corps des fractions,pun n i e´l´ementirr´eductibledeAetKle corps des fractions deAi=0aiX∈A[X]tel quepÑan ~(p). SoitP=∑ n i etP=∑i=0aiXtiucedr´eedblK[X]u`o,aiest l’imag estunpolynoˆmeiredeaipar la projection canonique AA~(p)que. MontrerPadsnitsee´rrtcudelbiK[X](et donc dansA[X]si le pgcd de ses coefficients 3 est1).Enconsid´erantlar´eductionmodulo3,montrerqueX−X+rritude´se2nsibctdaleZ[X].
Exercice 6.(esiE’dernietsn`eitCr) SoientAun anneau factoriel etKson corps des fractions.Soientq n i une´l´ementirr´eductibledea XedemoˆnylonpuA[X]v:ntfiari´eqÑqa ,Sapour 0≤i<n AetP=∑i=0ii n 2 etqÑa0. MontrerquePesnsbitcadelrritude´K[X](et donc dansA[X]si le pgcd de ses coefficients p−1p−2 est1).End´eduirequepourtoutnombrepremierp,X+X+ +X+sedantibl´rricudetse1Z[X]. 2 2 2 Exercice 7.itilibctdu´err’ieilrtEduede´X+Y+ZsurK. 4 Exercice 8.FactoriserX−2 surR,Q,Fp. 3 Exercice 9.omtntsed’ulierqristen’exesolpasdlednoituitauqe´’nsdaonbeLdeuttecercxeeeicZ suivante: 3 3 3 X+Y=XY ZZ ,≠0.(1) Par l’absurde, on suppose qu’il existe.Suppose que(X, Y, Z)est une solution de (1) telle queX, Y, Z>0 et queXY Zsoit minimal. 1. MontrerqueXetYsont premiers entre eux. 1 2. SoitU, V∈Ztels queX=U+VetY=U−V. MontrerqueUetVsont des entiers qui sont 2 premiers entre eux et queUetViff´e´esdarointtdepse.ertn 3 2 23 3. Montrerqu’ils existentS, W∈Ztels que 2U=SetU+3V=W. √ 1+ −3 4. (Faiten cours) En travaillant dansA=Z , montrer que 2 2U=(2a+b)(a−b)(a+2b),2V=3ab(a+b), avec les entiersaetbpremiers entre eux. 5. Montrerquea−b, a+2bet 2a+bdtnoucse.seb´dnEuiedunreluepetsp.1)e(ndioutolesits
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D’ici,onconside`redeuxe´quationsalge´briques:
p p−1 P(X)=a0X+a1X+ +ap=0 q q−1 Q(X)=b0X+b1X+ +bq=0
(a0≠0), (b0≠0),
o`uai, bjsont des scalaires dans un corpsK. Exercice 10.rtreMnoseopuqleomeslynˆPetQtenemquri´gbesplacnronausunedcommcoinnteunera closKcontenantKsi et seulement s’ils ont un diviseur commun non constant dansK[X]el,.ru-.c,d-a` pgcdestdedegre´≥1. Leesulr´tantdePetQe´ton,ser(P, Q)d´lest,enamierettnedalamrtcideeSylvesterdePetQ, qui estlamatricecarr´eedetaillep+q: a0a1 ap00 0a0a1 ap 0 00a0a1 ap b0b1 bq0 0. 0b0b1 bq00 0 0 0b0b1 bq q−1q−2p−1 LeslignesdelamatricedeSylvestersontlescoefficientsdespolynˆomes. . . , P, XQ, . . . , QX P,X P,. S’ilestutiledepre´ciserlenomdel’ind´etermin´ee,onnoteraresX(P, Q)natledt.Ler´esuPetQreetpˆtue regard´ecomme´ele´mentdeZ[ai(0≤i≤p), bj(0≤j≤q)]. pq Exercice 11.Montrer que res(Q, P)=(−1)res(P, Q). Exercice 12. 1. Montrerque siPetQont une racine commune, alors res(P, Q)=0. 2. Maintenant,supposons que res(P, Q)=0. (a) Montrerqu’ils existentλq−1, . . . , λ0, µp−1, . . . , µ0dansK, non tous nuls, tels que p−1p−2p−1 λp−1X P+λp−2X P+ +λ0P+µp−1X Q+ +µ0Q=0. (b)Ende´duirequePetQne sont pas premiers entre eux.
Exercice 13.emspslonyoˆ´eronsleConsid p n P(X)=a0M(X−αi), Q(X)=b0M(X−bj). i=1j=1 1. Enregardant res(P, Q)eldee´memmt´neocZ[a0, b0, αi(1≤i≤p), βj(1≤j≤q)], montrer queαi−βjdivise res(P, Q)pour tous 1≤i≤pet 1≤j≤q. 2.End´eduirelesidentit´essuivantes: p qp q q pq pqp =a(α−β)=a Q(α)=(−1)b P(β). res(P, Q)0b0M Mi j0Mi0Mj i=1j=1i=1j=1
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Exercice 14.unitEntlelisaultar´esquersie,,mnttronaest une racine dePetbest une racine deQ, 1.a+best une racine de resX(P(X), Q(Y−X))et q 2.abest une racine de resX(P(X)Q, X(Y~X)). √ √ 3 Parexemple,trouverunpolynˆome`acoefficientsentiersquia2+7 pour racine. p p−1 SoitP=a0X+a1X+ +apunpolymoˆnnadecnussproKet soientα1, . . . , αplespracines deP dansuncorpsalge´briquementclosKcontenantK. LediscriminantdeP,not´desiP, est 2p−2 2 dis(P)=aM(αi−αj). 0 1≤i<j≤p Exercice 15.Montrer que ν0ν1ν2νp−1 ν1ν2 νp −(2p−2) adis(P)=ν2 , 0 νp−1νp ν2p−2 R R p i o`uνi=∑αest la somme de Newton. k=1k 1 p(p−1)−1′ Exercice 16.Montrer que dis(P)=(−1)ares(P, P). 2 0 2′ 1. Calculerle discriminant deaX+bX+c. Compareravec res(P, P). 3 23 2. Calculerle discriminantDdeX−g2X−g3apgrdeherieclere´dteY=X−g2X−g3lorsqueD=0. n 3. Calculerle discriminant deX+pX+q.
∗r.s Exercice 17.Soitn∈N. NotonsMn(C)l’ensemble des matrices diagonalisables avec les valeurs r.s propres tous distinctes.Montrer queMn(C)est ouvert dansMn(C).Indication. Utiliserle discriminant d’unpolynˆome.
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