Universite Claude Bernard Master Algebre
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Niveau: Supérieur, Master
Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?3 : Exercice 1. Trouver tous les sous-groupes de A5 d'ordre 15, 20 ou 30. Exercice 2. 1. Trouver tous les produits semi-directs de Z/3Z par Z/4Z ou Z/2Z? Z/2Z. 2. Trouver tous les produits semi-directs de Z/4Z ou Z/2Z? Z/2Z par Z/3Z. Exercice 3. 1. Existe t-il une injection de S3 dans A4 ? 2. Existe t-il une surjection de Sn sur Sn?1 ? Exercice 4. Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, et N un sous-groupe distingue de G. Le but de cet exercice est de montrer l'isomorphisme suivant: HN/N ?= H/H ?N. Soit f la projection canoninique de G dans G/N et H ? l'image de H par f . 1. En calculant f?1(H ?), montrer que H ? est isomorphe a HN/N . 2. En calculant Kerf |H , montrer que H ? est isomorphe a H/H ?N . 3. Conclure. Exercice 5. Soit Gi, Hi (1 ≤ i ≤ 5) groupes.
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- fiche - matière potentielle : n?3
Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?3 : Exercice 1. Trouver tous les sous-groupes de A5 d'ordre 15, 20 ou 30. Exercice 2. 1. Trouver tous les produits semi-directs de Z/3Z par Z/4Z ou Z/2Z? Z/2Z. 2. Trouver tous les produits semi-directs de Z/4Z ou Z/2Z? Z/2Z par Z/3Z. Exercice 3. 1. Existe t-il une injection de S3 dans A4 ? 2. Existe t-il une surjection de Sn sur Sn?1 ? Exercice 4. Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, et N un sous-groupe distingue de G. Le but de cet exercice est de montrer l'isomorphisme suivant: HN/N ?= H/H ?N. Soit f la projection canoninique de G dans G/N et H ? l'image de H par f . 1. En calculant f?1(H ?), montrer que H ? est isomorphe a HN/N . 2. En calculant Kerf |H , montrer que H ? est isomorphe a H/H ?N . 3. Conclure. Exercice 5. Soit Gi, Hi (1 ≤ i ≤ 5) groupes.
- injection de s3 dans a4
- z? z
- module de la somme des composantes de ??m1??n1 ·
- groupe abelien pour l'addition des morphismes
- matrices triangulaires
Publié par
Langue
Français
M1—Alg`ebre—2011-2012
◦ FICHE N 3 :
Exercice 1.Trouver tous les sous-groupes deA5d’ordre 15,20 ou 30. Exercice 2. a) Trouvertous les produits semi-directs deZ/3ZparZ/4ZouZ/2Z×Z/2Z. b) Trouvertous les produits semi-directs deZ/4ZouZ/2Z×Z/2ZparZ/3Z. c) Soitdna´leddriopredo’ueg2rdlren. A-t-onDn'Z/2Z o Z/nZ. d)Legroupedesquaternionsd’ordre8peut-ils’´ecrirecommeunproduitsemidirect?
Exercice 3. a) Existet-il une injection deS3dansA4? b) Existet-il une surjection deSnsurSn−1?
Universite´LyonI
Exercice 4.SoitGun groupe,Hun sous-groupe deG, etNgu´esdetinpedigrouuo-susnG. Lebut de cet exercice est de montrer l’isomorphisme suivant: ∼ HN/N=H/H∩N. 0 Soitfla projection canoninique deGdansG/NetHl’image deHparf. −10 0 a) Encalculantf(H), montrer queHesa`ehpromositHN/N. 0 b) Encalculant Kerf|H, montrer queHorphe`aestisomH/H∩N. c) Conclure.
Exercice 5.SoitGi, Hi(1≤i≤Supposons que les morphismes5) groupes.fi:Gi−→Hiet le diagramme commutatifsuivantaveclesdeuxsuiteshorisontalesexactessontdonne´es: //////// G1G2G3G4G5 . //////// H1H2H3H4H5 a) Montrerque sif1est surjective etf2, f4sont injectives, alorsf3est injective. b) Montrerque sif5est injective etf2, f4sont surjectives, alorsf3est surjective. Cer´esultatestconnuetappele´5-lemme. Exercice 6.SoitXun ensemble sur lequel le groupeS5nagitd’unemani`eonerrt-naiviM.eltronquer’aelioct n’estpasfide`lesietseulementsiS5agit par involution. Exercice 7.Soitnun entier tel quen >1 etKun corps commutatif.SoitB, TetUles sous-groupes de GLn(Kserialugnairtsecriatsmde)nolaidgaciseamrt,desureseriesup´ipunenotsste´eupe,sesedtrtamseciirueer.s Montrer queBest isomorphe au produit semi-directTnU.
Exercice 8.trucelasAduutg(rotuupreeo,dnIicmrnie´etZ/2Z×Z/2Z). a)Enconsid´erantl’imaged’un´ele´mentd’ordre2deZ/2Z×Z/2Zpar un automorphisme, montrer que Aut(Z/2Z×Z/2Zmosihprotse)snuo`euauoep-srgdeS3.
1
b) Soitf, g∈Aut(Z/2Z×Z/2Z) tels que ¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ f(i, j) = (j, i), g(i, j) = (i+j, j)i, j∈Z/2Z. 2 23 Montrer quefetgsatisfontf=g= id et (f◦g) =id. c) Conclure.
Exercice 9.Ici, on va montrer queG=P GL2(F2simoe)tsae`phorS3re´eiffd.tnemm 1 a) Enfaisant agirGsurP(F2), montrer-le. 3 onside`rel’actioF. b) Onc ndeS3sur2 (a) Montrerque cette action stabilise l’hyperplan{(x, y, z)|x+y+z= 0}. (b) Conclure. [a) ] c) MontrerqueGL2(F2e`aAut(isomorphtse)Z/2Z×Z/2Z.)nE´ddeequreuiP GL2(F2) =GL2(F2) est isomorphea`S3.
Exercice 10.gselpuorsereismrnie´etDZ/36Z×Z/45Z×Z/60ZetZ/25Z×Z/48Z×Z/81Zsont isomorphes.
Exercice 11.imrete´Donacrlnesuontidineitlrsesotirepsifsa, bpour laquelle on a ∼ Z/abZ=Z/aZ×Z/bZ.
Exercice 12.Soitmetndeux entiers strictement positifs etH(m, n) l’ensemble des morphismes deZ/mZ dansZ/nZ.H(m, ne)nutsemsihpro(saddiurl’desmtionepbarguoneope´ilϕ+ψ)(i) :=ϕ(i) +ψ(i). a)Montrerqu’un´ele´mentϕdeH(m, nn´miarep)estqinuemeu´dtnreteϕ(1). b) Soitdle PGCD demetn. Montrerque l’ordre deϕ(1) divised. c)Montrerquelese´l´ementsdeZ/mZdont l’ordre divisedsont les classes de multiples dea,`uom=adet de´duirequeϕretae´´neuedrd´1)(ngtuniefiH(m, n). ∼ d)End´eduirequeH(m, n) =Z/dZ.
Exercice 13.Soitnun entier tel quen >1 etG= Aut(Z/nZ,+). ¯ ¯ a) Montrerquekengendre (Z/nZ,+) si et seulement sikest inversible dansZ/nZ. ∗ b)Ende´duirequeGest isomorphe au groupe multiplicatif (Z/nZ) .
Exercice 14.Soientnun entier strictement positif etpun nombre premier. a) Supposonsquepest impair. ∗ ∗ i) Montrerque pour toutk∈N, il existea∈Ntel que k p k+1 (a, k) = 1et (1+p1 +) =ap . n∗n−1 ∼ ii)End´eduireque(Z/pZ) =Z/p(p−1)Z. b) Supposonsquep= 2. ∗ ∗ i) Montrerque pour toutk∈N, il existe un entier impairea∈Ntel que k 2k+2 5 =1 +a2.
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n∗n−2 ∼ ii)End´eduireque(Z/2Z) =Z/2Z×Z/2Zpourn≥2. ∗ c) Donnerla structure de (Z/NZ) pourN >1.
Exercice 15.Le groupe PSL(2,Z) est-il simple ? 2 3 Exercice 16.SoitGoupelegrnipad´efirhx, y|x=y=eibut de cet exercice est de montrer que. LeGest 1 01 1 isomorphe`aP SL(2,Zle fait que). AdmettonsSL(2,Z.teeparndr´enge)est 1 10 1 1−0 11 1−1 a)Calculer.Ende´duirequeSL(2,Zres)ngtedrenpa´e 0 11 10 1 0−1 11 et . 1 00 1 0−1 0−1 11 b) Notonsl’image deet parla projection canoniqueSL(2,Z)P SL(2,Z) par 1 01 00 1 AetB, respectivement. 2 3 i) MontrerqueA=B=12. ii)Ende´duirequ’ilexisteunmorphismesurjectifϕdeGdansP SL(2,Z). −1 c) Posonsξ=xyetη=xytdeemen.qroeMutnere´´lottuGs’´epeutuoserircemrofals 0 ε m1n1mrnrε0 x ξη∙ ∙ ∙xξ η´ouε, ε∈ {0,1}etmi, ni∈N. 0 00m10n10mr0nr d) Expliciterξ:=ϕ(ξ) etη:=ϕ(ηmoopedcsmoemlesauledemodqueluireEn).edd´deesntsaξ η∙ ∙ ∙ξ η est au moins 3 sauf sim1=n1=∙ ∙ ∙=mr=nr= 0. e) Conclure.
2 Exercice 17.SoitG=ha, b|aba=babiPosonsle groupe de tresse de trois cordes.x=abety=ab. a) MontrerqueGrpaetsenegne´rdxety. 2 3 b) Montrerquex=y∈Z(G). 2 23 c) Calculerles commutateurs [x, y] et [x, yeriude´dnE.]queZ(Ggendstenra)e´rpex=y. d)Ende´duirequeG/Z(Ghproa`etse)mosiP SL(2,Z).
Exercice 18.SoitGntnnfiu.rigouSoeeipbae´ilned1, ..., drles entiers≥2 tels que : d1|d2|...|dr etG'Z/d1Z×...×Z/drZ. a) Exprimerle produitd1...drdia’la`eedG. ∀n b) MontrerquedrZ={n∈Z:g∈G, g= 1}. c) SoitEun espace vectoriel de dimension finie surC. Soituun endomorphisme deE. SiP∈C[X] etv∈E, on poseP.v:=P(u)(v). On suppose qu’il existeP1, ..., Pr∈C[Xusinatrilonyoˆemstantsteesnoncon:euqsl]spde P1|...|Pr dansC[X] et E'C[X]/(P1)⊕...⊕C[X]/(Pr) commeC[X]−modules.
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d) MontrerquePropylˆnmomenimiladeelestuetP1...Premoˆnyloe´tcaracueiqstrieruvro.Ttsealilsonp P1, ..., Prlecadansso`uEuion3eto`deesdtimensua pour matrice 1 1 0 0 1 0 0 0 1 dans une base.
∨ × Exercice 19.SoitGun groupe.On poseG:= Hom(G,Cir´veera’la`noitacilpiltmuladenimu)(i.e.: φ1φ2:g7→φ1(g)φ2(g)). ∨ a) MontrerqueGgrunpeou´eabenli.tse ∨ b)De´terminerGpourG=Sn, An,Z/nZ. ∨ c) Montrerque siGelb´taes,anirnsfilioeG'G.
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