Universite Claude Bernard Lyon Topologie elementaire Licence de Mathematiques Annee
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon 1 Topologie elementaire Licence de Mathematiques Annee 2011-2012 Fiche TD 1 Exercice 1. Moyenne de Cesaro : Soit (xn)n ? N une suite de reels telle que limn?∞ xn = l ? R. a) Montrer que la suite donnee par yn = x1+···+xn n converge vers l. b) Plus generalement si (cn)n?N est une suite de reels strictement positifs telle que ∑∞n=1 cn = +∞, montrer que la suite donnee par zn = c1x1+···+cnxn c1+···+cn converge vers l. Exercice 2. Montrer que toute fonction reelle continue sur un intervalle ferme et borne est uniformement continue sur cet intervalle. Exercice 3. Soit f :]0,1[? R une fonction continue. Montrer que si f est uniformement continue alors f est bornee. La reciproque est-elle vraie ? Exercice 4. Soit (an) une suite reelle telle que ∑ |an| converge (on dit que la serie des an est absolument conver- gente). Montrer que la serie ∑an converge. Exercice 5. a) Soit (In) une suite d'intervalles fermes bornes non vides telle que pour tout n, In+1 ? In. Montrer que l'intersection des In n'est pas vide. b) Montrer de plus que cette intersection est un singleton si la longueur des In tend vers 0.
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- fiche - matière potentielle : td
Universite Claude Bernard Lyon 1 Topologie elementaire Licence de Mathematiques Annee 2011-2012 Fiche TD 1 Exercice 1. Moyenne de Cesaro : Soit (xn)n ? N une suite de reels telle que limn?∞ xn = l ? R. a) Montrer que la suite donnee par yn = x1+···+xn n converge vers l. b) Plus generalement si (cn)n?N est une suite de reels strictement positifs telle que ∑∞n=1 cn = +∞, montrer que la suite donnee par zn = c1x1+···+cnxn c1+···+cn converge vers l. Exercice 2. Montrer que toute fonction reelle continue sur un intervalle ferme et borne est uniformement continue sur cet intervalle. Exercice 3. Soit f :]0,1[? R une fonction continue. Montrer que si f est uniformement continue alors f est bornee. La reciproque est-elle vraie ? Exercice 4. Soit (an) une suite reelle telle que ∑ |an| converge (on dit que la serie des an est absolument conver- gente). Montrer que la serie ∑an converge. Exercice 5. a) Soit (In) une suite d'intervalles fermes bornes non vides telle que pour tout n, In+1 ? In. Montrer que l'intersection des In n'est pas vide. b) Montrer de plus que cette intersection est un singleton si la longueur des In tend vers 0.
- topologie elementaire
- c1 ≤
- espace metrique
- condition necessaire
- adherence
- ty ?
- meme question pour l'application
- topologie donnee par la norme ?
>
2
1
0
-1
-2
TD 1 : Déformations
Exercice 1 :
x 2
x 1
-2 -1 0 1 2 Figure 1 : disque soumis à glissement simple Un disque plat est soumis à du glissement simple (Figure 1).
Calculer : tenseur gradient de la transformation le tenseur des dilatations de Cauchy-Green le dilatation selon les trois axes X la1, X2 entre les axes 1 et 2 après transformation langle le tenseur des déformations de Green-Lagrange déformation selon les trois axes la tenseur petites déformations le
x21==XX12+X2 x x3=X3
3
Tenseur gradient de la transformation
Tenseur des dilatations de Cauchy-Green
Dilatation dans une direction
Glissement de deux directions orthogonales
t0p[1]:=0: t0p[2]:=1: t0p[3]:=0: alpha:=Angle(C,t0,t0p);
déformation de Green-Lagrange
Hypothèse des petites perturbations
déplacement en fonction des coordonnées
tenseur H
